Вопрос 15. Число е

Р ассмотрим последовательность { }, . . Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать что она возрастающая и ограниченная сверху. I) Покажем, что последовательность { } возрастающая, т.е. для любого n . разложим по формуле бинома Ньютона.

Для любого 0<к<n выполняется соотношение (l-1/k) < (1 – 1/(k+1)). Следовательно в выражении для каждое слагаемое больше чем в соответствующее слагаемое в выражении для . Следовательно, для любого N. Следовательно, { } - возрастающая последовательность. 2) Покажем, что последовательность { } ограниченная сверху. Рассмотрим выражение для , Так как 1 / k! <

Следовательно, для: любого n в и последовательность { } ограничена сверху, то по теореме она является сходящейся . Этот предел обозначается е, е=2,7182

Вопрос 16. Теорема о вложенных промежутках

DEF. Пусть дана последовательность отрезков [a1,b1], … , [an, bn], … таких, что каждый последующий содержится в предыдущем [a1,b1]>[an, bn]> и пусть . Такая последовательность называется последовательностью вложенных отрезков.

Теорема. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Вопрос 17 Понятие функции и способы ее задания.

DEF . Пусть заданы два множества Х и У, если каждому элементу хХ поставлен в соответствие по вполне определенному закону f единственный элемент уУ, обозначаемый f(x) и если каждый элемент уУ при этом оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу хХ, то говорят что на множестве Х задана однозначная функция у=f(x)

Существуют три способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Функция задана аналитически, если закон устанавливающий соответствие между множеством всех значений аргумента и множеством всех значений функции задается посредством формул. Табличный способ -заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. При графическом способе задания функции соответствие между элементом и функцией задается посредством графика.

Вопрос 18. Предел функции в точке. Правые и левые пределы функции.

П редел функции по Гейне: Число b называется пределом функции y=f(x), в точке а, если для любой последовательности значений аргумента , Х2, …, ,… сходящейся к а и состоящей из чисел , отличных от а, соответствующая последовательность значений функции f( ), …, f( ), сходится к числу b. Предел функции по Коши: Число b называется пределом функции y=f(x), в точке а, если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех значений аргумента х, удовлетворяющего условию 0<|x-a|< справедливо неравенство |f(x)-b|<. Замечание 1. Следует подчеркнуть важность требования, обязывающего элементы последовательности значений аргумента х быть отличными от а, и аналогично в определении по Коши, т.к. функция y=f(x),может быть не определена в точке а.

З амечание 2: Определения по Коши и по Гейне эквивалентны. Правый предел функции по Гейне: Число b называется правым пределом функции y=f(x), в точке а, если для любой последовательности значений аргумента  , сходящейся к а и состоящей из чисел больших а, соответствующая последовательности значений функции f( ) сходится к числу b. Левый предел функции по Гейне: Число b называется левым пределом функции y=f(x), в точке а, если для любой последовательности значений аргумента  , сходящейся к а и состоящей из чисел меньших а, соответствующая последовательности значений функции f( ) сходится к числу b. Правый предел функции по Коши. Число b называется правым пределом функции y=f(x),в точке а, если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех значений аргумента х, удовлетворяющего условию а<x<a+ справедливо неравенство |f(x)-b|<. Левый предел функции по Коши. Число b называется левым пределом функции y=f(x),в точке а, если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех значений аргумента х, удовлетворяющего условию а-<x<a справедливо неравенство |f(x)-b|<