Вопрос 21. Первый замечательный предел

Предел функции g(x)=sinx\x в точке х=0 существует и равен 1.

Вопрос 22 Второй замечательный предел

П редел функции f(x)=(1+1\х) при х существует и равен числу е.

Вопрос 23 Бесконечно малые функции и действия над ними.

DEF Функция называет бесконечно малой в точке х=а, если предел этой функции в точке а равен 0.

D EF Функция (х) называется бесконечно малой в точке х=а, если для любого положительного числа >0 существует >0 такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x-a|< выполняется неравенство |(x)|<

D EF Функция (х) называется бесконечно малой в точке х=а, если для любой сходящейся к а последовательности значений Х, отличных от а, соответствующая последовательность значений функции ( ) является бесконечно малой.

Бесконечно большие функции, связь с бесконечно малыми функциями

D EF Функция A(x) называется бесконечно большой в точке х=а, если для любого положительного числа >0 существует положительное число  такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x-a|< выполняется неравенство |a(x)|>

D EF Функция А (х) называется бесконечно большой в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности , значений аргумента X, соответствующая последовательность значений функции A( ) является бесконечно большой последовательностью

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции Функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот. Замечание: частное двух бесконечно малых функций может являться как функцией бесконечно малой, так и бесконечно большой и ограниченной.

Вопрос 24 Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.

Пусть (х) и (х) две функции заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являются бесконечно малыми в точке х=а.

1.Говорят, что (х) является в точке а бесконечно малой более высокого порядка, чем (х), если . 2.Говорят, что (х) и (х) являются бесконечно малыми одного порядка в точке а, если , где А0. 3.Говорят, что (х) и (х) являются в точке а эквивалентными бесконечно малыми, если В этом случае пишут . Аналогично сравниваются б.б. функции.

В ОПРОС 25 Определение непрерывной функции.

Ф ункция у=f(x) называется непрерывной в точке , если .Замечание: Т.к. , то это соотношение можно записать в виде , т.е. для непрерывной функции можно поменять местами знак функции и предела. Функция f(x) называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента Х: , …, , … сх. к , соответствующая последовательность значений функции f(x), …, f( ), … сходится к числу f(Xo). Функция f(x) называется непрерывной в точке , если для любого >0 найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех Х, удовлетворяющих условию |X-Xo|< выполняется неравенство |f(x)-f(Xo)|<. Функция f(x) называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при х, т.е.

В ОПРОС 27. Точки разрыва функции I рода, II рода, устранимого разрыва.

D EF. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции. 1. Устранимый разрыв.Точка называется точкой устранимого разрыва функций У ⁼ f(x) если предел функции f{x) в точке существует, но в точке функция f(x) либо неопределена, либо имеет частное значение f( ), отличное от предела f{x) в этой точке. Если функция имеет в точке устранимый разрыв, то этот разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от . Для этого достаточно положить значение функции в точке равным ее предельному значению. Разрыв 1 рода Точка называется точкой разрыва 1 рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы Разрыв 2 рода. Точка называется точкой разрыва 2 рода функции f(x), если в этой точке функция f(х) не имеет по крайне мере один из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

В ОПРОС 28 Теорема об арифметических свойствах непрерывных функций. Пусть функции f(X)и g(x) непрерывны в точке . Тогда функции f(x)g(x), f(x)*g(x) и f(x)\g(x) также непрерывна в этой точке (частное при g(Xo)). Доказательство: Так как функция f(x) непрерывна в точке , то , аналогично, для непрерывной функции g(x-): . Тогда по теореме пределы функции f(x)g(x), f(x)*g(x) и f(x)\g(x) существуют и равны Но эти величины равны соответствующим значениям функции в точке . Следовательно, по 1 определению функции непрерывны в точке .

Вопрос 29 Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Пусть функция f(х) задана на множестве Х, непрерывна в точке Хо Х и f(Хо)0. Тогда существует положительное число  такое, что для всех х функция имеет тот же знак, что и f(Хо). Доказательство. Пусть f(Хо)^> 0 Тогда, в силу непрерывности функции для выполняется неравенство |f(x)—f(Xo)|<. Запишем последнее неравенство в виде f(Хо)- < f(x)< f(Xo) +, оно выполняется для всех . Возьмем , тогда получим, что для всех f(x) > 0. Что и требовалось доказать. Если f(хо)<0, то рассмотрим функцию -f(x). Тогда -f(Хо)>0 И по только что доказанному существует  — окрестность точки Хо, в которой — f(x) > 0. Следовательно f(х) < 0. Теорема доказана.

Вопрос 30. 1 теорема Больцано-Коши. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [а,b] и на концах сегмента имеет значения разных знаков (F(a)f(b) < 0). Тогда существует точка с  (a, b) в которой f(c) =0. Доказательство. Пусть для определенности f(а)<0 и f(b)> 0, Разделим сегмент; [а,b] пополам. Если значение функции в середине сегмента [а,b} равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из . двух полученных сегментов на концах которого функция имеет значения разных знаков. Обозначим его через [a1,b1}. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на к-ом шаге значение функции в середине сегмента [ak,bk] окажется равным нулю и теорема доказана. Либо получим последовательность ] вложенных сегментов, причем и на концах каждого сегмента [аn, bn] функция имеет значения разных знаков. По теореме о вложенных отрезках существует точка с принадлежащая всем сегментам. Докажем, что f(с)=О. Предположим противное. Пусть f(с) > 0, тогда по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки с, в которой f(с) > 0, В эту окрестность при достаточно большом n попадает сегмент [an„ bn]. Следовательно, на [an,bn] будет выполняться неравенство f(x)>0, a это противоречит тому, что на концах [an,bn] функция имеет значения разных знаков- Мы пришли к противоречию. Аналогично, показывается, что f(с) не может иметь отрицательное значение. Следовательно f(с)= 0.

Вопрос 31. 2 теорема Больцано-Коши. Пусть функция f(х) непрерывна на ceгменте [a, b], причем f(a) = A, f{b) = В. Пусть далее С - любое число, заключенное между А и В. Тогда на сегменте [а,b} найдется точка Хо такая, что f(хо)=С. Доказательство: Пусть для определенности А<В и А <С<В. (Очевидно, что в до­казательстве не нуждается случай А=В. В противном случае С=А=В и можно связать Хо=а). Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на [а,b] как разность непрерывных функций и принимает на концах сегмента значения разных знаков: Тогда по первой теореме Больцано-Коши существует точка Хо(а, b) такая, что . Следовательно f(Xo)=C.

Вопрос 32. Точная верхняя и нижняя грани: пусть функция y=f(x) определена на множестве Х, У множество значений функции. Если множество У ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю(нижнюю) грань. Точная верхняя (нижняя) грань множества У называется точной верхней (нижней) гранью функции y=f(x) на множестве Х и обозначается DEF. Число М называется точной верхней гранью функции у = f(x) множества X, если выполняются условия: 1) f(х)М, ; 2) для найдется точка х’  Х такая, что f(x’ ) > М’. Аналогично DEF для нижней грани. Доказательство: Пусть m=inff(x), M=supf(x). Выберем у У, так, чтобы . Выберем так, чтобы выполнялись условия . Существование таких значений ; следует из существования inff(x) и supf(x). Тогда по второй теореме Больцано - Коши существует точка х  Х такая, что у = f(x). Следовательно, множество Y представляет собой некоторый промежуток с концами m и М.

ВОПРОС 33. Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [а,b], то она ограничена на этом сегменте. Доказательство: Доказательство проведем методом от противного. Пусть f(x) не ограничена на [a,b}. Разделим сегмент [a,b] пополам, тогда по крайней мере на одном из полученных сегментов функция не ограничена. Обозначим этот сегмент Продолжим процесс деления неограниченно получим последовательность Это последовательность вложенных отрезков, на каждом из не ограничена (по предположению). По построению при . Тогда по теореме о вложенных отрезках существует единственная точка с принадлежащая всем этим отрезкам. Функция f{x} определена и непрерывна на [а.b]. Следовательно, она непрерывна .в точке с, но тогда существует окрестность точки с, в которой .f(x) ограничена. При достаточно большом n в эту окрестность попадает сегмент на котором функция также ограничена. Мы пришли к противоречит. Теорема доказана.

ВОПРОС 34. Вторая теорема Вейерштраса. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то она достигает на этом сегменте своих точных граней, т.е. существуют точки , такие, что Доказательство: Так как f(x) непрерывна на [a,b] то по первой теореме Вейерштрасса она ограничена на этом отрезке. Следовательно, существует точная верхняя М и точная нижняя m грани функции f(х) на отрезке [a,b]. Покажем, что функция достигает М, т.е. существует такая . Предположим противное. Пусть f(x) не принимает ни в одной точке [a,b] значения равного М. Тогда для всех х  [a,b] выполняется неравенство f(x) < М . Построим вспомогательную функцию Функция F(x) непрерывна как частное двух непрерывных функций. Но тогда по первой теореме Вейерштрасса F(x) ограничена, т.е. найдется число такое, что . Таким образом число является верхней гранью f(x) на отрезке [а, b]. Но это противоречит тому, что М является точной верхней гранью, (т.е- наименьшей верхней гранью) f(x) на отрезке [а,Ь]. Это, противоречие доказывает, что существует точка , в которой . Непрерывная на сегменте функция принимает на этом сегменте свое минимальное и максимальное значение.

ВОПРОС 35. Теорема о непрерывности сложной функции. Пусть функция непрерывна в точке Хо, а функция у =f(z) непрерывна в точке • Тогда сложная функция непрерывна в точке Хо. Доказательство: Возьмем из Х любую последовательность точек сходящуюся к точке Хо. Тогда в силу непрерывности функции в точке Хо. Имеем , то есть соответствующая последовательность точек сходится к точке Zо. В силу непрерывности функции f(z) в точке Zо имеем Получаем, что предел функции в точке Хо равен значению функции в.точке Хо. Следовательно, функция непрерывна. Теорема доказана.

ВОПРОС 36. Теорема о непрерывности обратной функции. Пусть функция у =f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть Y множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функции однозначна, строго монотонна и непрерывна. ПРИМЕР: Рассмотрим функцию у=sin х при Она однозначна, монотонна, непрерывна, Обратная функция также однозначна, монотонна, непрерывна.

ВОПРОС 37 Понятие производной. Рассмотрим функцию у =f(x) заданную на промежутке Х. Возьмем произвольную точку ХоХ и зададим аргументу х в точке Хо произвольное приращение х такое, что точка Хо + х также будет принадлежать X. DEF Приращением функции у= f(x) в точке Хо, отвечающим приращению аргумента х, будем называть число. у=f(Хо+х )-f(Хо). Считая, что х 0 рассмотрим в данной фиксированной точке Хо отношение . DEF: Производной функции у=f(x) в данной точке Хо называется предел при разностного отношения (1). Если функция имеет производную для всех точек промежутка X, to, эта производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента х, определенную на промежутке X. Геометрический смысл производной. Пусть функция у=f(х) определена на интервале (а,b) и пусть точка А на графике функции соответствует значению аргумента Хо, а точка В значению (Хо+х ). Проведем через А и В прямую и- назовем ее секущей. Обозначим через угол между секущей и осью ОХ, его зависимость от х очевидна. Если существует , то прямую с угловым коэффициентом k = проходящую через точку A(xo,f(xo)), называют предельным положением секущей АВ при (или при ). DEF. Касательной S к графику функции у=f(x) в точке А будем называть предельное положение секущей АВ при Итак, для существования касательной достаточно, чтобы существовал причем предел равен углу наклона касательной к оси OX. Докажем, что если функция у=f(x) имеет в точке Хо производную, то существует касательная к графику функции у = f(x) в точке , причем угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс угла наклона ее к оси ОХ) равен, производной f'(Хо). Действительно, из АВС имеем Отсюда, (3). Перейдем в равенстве (3) к пределу при х—>0. Так как существует производная f’(Хо), то существует и предел . Отсюда и из непрерывности функции следует, что существует предел правой части равенства (3) ; Следовательно, существует предел и левой части равенства (3). Таким образом, получаем . Но это означает, что существует предельное положение секущей АВ, т.е. существует касательная к графику функции У=f(х) в точке A(Хо,f(Хо)), причем угол наклона этой касательной к оси Ох равен arctgf’(Хо) и, значит, угловой коэффициент касательной , что и требовалось доказать. Составим уравнение касательной к графику функции у =f(x) в точке A(Хо,f(Хо)). Мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку С(а,b) не имеющей угловой коэффициент k, имеет вид у=b+k(х-а). (4). Но в точке A(Хо,f(Хо)) значение функции равно f(Хо), а угловой коэффициент касательной равен f’(Хо), поэтому положим в уравнении (4) а=Хо, b = f(Хо)}, k = f'(Хо). Получаем уравнение касательной y=f(Хо)+f'(Хо)(x- Хо). (5). Итак, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функция в точке равно угловому коэффициенту касательной в этой точке, т. е. . Уравнение касательной к графику дифференцируемой функ­ции у = f(x) в точке А(Хо,f(Хо)) имеет вид (5). Алгоритм для составления уравнения касательной к графику функции y=f(x) проходящей через точку (xo,f(Xo)) можно записать следующим образом: 1. Вычислим значение функции у =f(x) В Точке с.абсциссой . Хо.т.е. уо=f(Хо). 2. Находим производную функции у = f(x). 3. Вычислим значение производной функции в точке с -абсциссой Хо т.е. . 4. Подставим полученные значения в общий вид уравнения касательной и, так как это уравнение прямой, упростим ее запись до уравнения вида у=kx+b.

ВОПРОС 38. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ. DEF. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке Хо если ее приращение у в этой точке можно представить в виде у = А х + (х )х ,(6) где А - некоторое число, не зависящее от х , а (х ) - функция аргумента х , являющаяся бесконечно малой при , т.е. . Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке установим в следующей теореме.

Вопрос 39. Теорема о связи дифференцируемости функции и существованием производной. Для того, чтобы функция у= f(x) была дифференцируема в точке Хо, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Доказательство: Необходимость. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке Хо, т.е. ее приращение в этой точке можно представить в виде у = А х + (х )х Поделим это равенство на х (х 0) , получим . Переходя к пределу при х ->0, имеем- Следовательно, производная в точке Хо существует и равна А, т-е. F’(Хо)=A. Достаточность: Пусть существует конечная производная f'(Хо), т.е. . Обозначим f'(Хо) =A, тогда функция является бесконечно малой при х —>0 Из последнего равенства имеем , где . Получено представление у = А х + (х )х. Следовательно, функция у = f(x) дифференцируема в точке Хо. Теорема доказана. Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные.

ВОПРОС 40 Непрерывность и дифференцируемость функции. Если функция у = f(x) дифференцируема на данной точке Хо, то она и непрерывна, в этой точке. Доказательство. Так как функция у= f(x) дифференцируема в точке Хо, то ее приращение в этой точке можно представить в виде у = А х + (х )х. Тогда, переходя к пределу при х —> 0 получаем что означает непрерывность функции у=а(х) в точке Хо согласно определению 4 непрерывности функции в точке. Теорема доказана. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь производной в этой точке.

ВОПРОС 41 Понятие дифференциала. Геометрический смысл. DEF. Дифференциалом функции у =f(х) в точке х называется главная, линейная относительно х, часть приращения функции в этой точке. Для обозначения дифференциала функции используют символ dy.dy = А х. (7). Формулу (7) можно записать в виде . (8). Дифференциалом независимой переменной Х назовем приращение этой переменной dx =х . Соотношение (8) примет вид dy=f'(xo)dx (9). Это можно вычислить . Геометрический смысл дифференциала: Пусть, точка А на графике функции у =f(х) соответствует значению аргумента Хо ,а точка В- значению аргумента Хо+х Проведем касательную AS к графику функции у = f(x) а точке A(Хо,f(Хо)). Обозначим через (X угол, образованный касательной AS с осью ОХ. Пусть АС // ОХ, ВС // OY и Q - точка пересечения касательной AS с ВС. Тогда приращение функции у равно величине отрезка ВС .Из Прямоугольного треугольника ACQ имеем; CQ = х • tg = f''(Хо)х = dy. Следовательно, дифференциал функции dy равен величине отрезка CQ. Видно, что СВ и CQ различны. Таким образом, дифференциал dy функции f(x) в точке Хо равен приращению ординаты касательной AS к графику функции y=f(x) вточке A(Хо,f(Хо))

ВОПРОС 42. ДИФФЕРЕЦИРОВАНИЕ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО двух функций. Если функция и =U(x), v = V(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что V(х)  0) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: (u±v)’=u’±v’; (u*v)’=-u’v+uv’ (10). Доказательство: Для вывода формул (10) воспользуемся DEF производной,. Равенством f(х+х ) = f(х)+у и теоремой, о пределах суммы,. разности, произведения и частного. , . Так как (в силу дифференцируемости, а следовательно и непрерывности v(x)), множители и и v не зависят от х . Так как (в силу дифф, а следовательно.и.непрерывности v(x:)), множители.u и v не зависят от х

ВОПРОС 43 Производные элементарных функций 1.Производная функции f(x)=С выражается формулой y’=0. Доказательство: Для любых Х и х имеем Отсюда, Следовательно, 2. Производная степенной функции. Производная функции , где п целое положительное число, выражается формулой 3. Производные тригонометрических функций.1). Производная функции у = sinX выражается формулой у' = COSX Доказательство:

Имеем Таким образом, при х 0 Так как (первый замечательный предел), a .(в силу непрерывности функции cosx), то 2) Производная функции у=cosх. выражается формулой y'=—sinx. 3). Производная .функции у = tgx выражается формулой . Доказательство: Так как то по теореме имеем Следовательно, Аналогично доказывается, что для • функции у = сtgX 4. Производная логарифмической функции. Производная функции, выражается, формулой .

ВОПРОС 44 . ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. Если функции у = f(x) имеет в точке Хо производную f '(Хо) 0, то обратная функция также имеет в соответствующей точке Уо=f(Хо) производную, причем . Доказательство: Дадим аргументу у обратной функции некоторое приращение х О. Функция получит некоторое приращение х, причем в силу возрастания (или убывания) обратной функции х 0. Следовательно . Перейдем в этом равенстве к пределу при у—> 0. Так как обратная функция непрерывна в точке у, то х —> 0 при у->0. Но при х —> 0 предел правой части равенства существует и равен . Следовательно, существует предел и левой части, который по определению равен . Таким образом, получаем Теорема доказана.

ВОПРОС 45 Призводные фунций: у = a в степени x, a >0, a≠1, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. Производная функции выражается формулой . Доказательство: Показательная функция у является, обратной для логарифмической функции . Так как , то по теореме из соотношения получим . Следствие. Если . Производная функции у=arcsinх выражается формулой . Доказательство: Так как функция у = arcsinх определена на интервале —1 < X <1, является обратной для функции X= Sinу. определенной в интервале , и для функции x=Siny выполнены все условия теоремы 6.4, то по этой теореме функция у = arcsin х дифференцируема в любой точке x=sinу и для ее производной в этой точке справедлива формула . Перед корнем поставили знак + в силу того; что cos у положителен всюду на интервале - Учитывая, что х = sin у, окончательно получаем . Аналогично доказывается, что производная функции у=arccosx выражается формулой . Производная функции y=arctgx выражается формулой

Доказательство: Так как функция у=arctgx, определена на бесконечной прямой, является обратной для функции Х= tgy определенной на интервале , и для функции х=tgy в окрестности каждой точки интервала выполнены все условия теоремы 6-4, то функция у =arctgx по этой теореме дифференцируема в каждой точке х = tgy и для ее производной справедлива следующая формула . Аналогично доказывается, что

ВОПРОС 46 Дифф. сложной функции. Если функция х имеет производную в точке tо, а функция у= f(x) имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке tо и справедлива следующая формула: (11). Доказательств:. Так как функция у = f{x) дифференцируема а: точке Хо, то приращение этой функции в точке Хо может быть записано в виде (12), где Поделив равенство (12) на t (t0) получим (13) Равенство (13) справедливо для любых достаточно малых х. Возьмем х равным приращению функции , соответствующему приращению t аргумента t в точке to , и устремим в этом равенстве t к нулю. Так как по условию имеет в точке to производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, согласно определению непрерывности функции в точке, х —> 0 при t ~->0. Но тогда  (х )—>0,т.е, имеем В силу соотношения (14) существует предел правой части равенства (13) при t —> 0 , равный . Значит, существует предел при t—> 0 и левой части равенства (13), который по определению производной равен производной сложной функции .Таким образом, дифференцируемость сложной функции доказана и установлена формула (11).

ВОПРОС 47. Прием логарифмического дифференцирования. Производная функции с любым вещественным показателем. Производная функции выражается формулой Доказательство: так как . Дифференцируя обе части этого равенства по х имеем, Учитывая, что , получаем

ВОПРОС 48 Производные высших порядков. DEF Производная от производной 1-ого порядка функции y=f(x) называется производной второго порядка и обозначается y”. Производная n-ого порядка определяется как производная от производной n-1 порядка

В ОПРОС 49 Дифференциалы высших порядков. Будем использовать для обозначения дифференциалов dy и dx также и символы у и х. Пусть функция f(x) дифференцируема на некотором промежутке. Тогда, ее дифференциал dy=f’(x)dx, который называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом, является функцией двух переменных: аргумента х и дифференциала dх. Пусть функция f’(x) также дифференцируема на указанном промежутке. Будем полагать dx постоянным сомножителем в выражении для dy, тогда функция dy будет функцией только аргумента х и ее дифференциал в точке х выражается формулой (dy)=[f’(x)dx]=[f’(x)dx]’х=f’’(x)dxх Дифф (dx) называется дифференциалом второго порядка функции f(x) в точке х и обозначается d2y:

ВОПРОС 50 Возрастание\убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания убывания функции. DEF. Говорят, что функция f(х) возрастает (убывает) в точке с если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой f(х) >f(c) при х>с и f(х)<f(с) при х<с (f(х) <f(с)при х>с и f(х)>f(с) при х<с). Теорема: Если функция f(х) дифференцируема в точке с и f'(с) > 0 (f '(с) < 0), то эта функция возрастает (убывает) в точке с. Доказательство. Докажем теорему для случая f'(с) > 0. Так как. то по определению предела функции в точке, для любого > 0 найдется положительное  такое, что . Возьмем в качестве  положительное число, меньше f '(c). Тогда это означает, что всюду в  - окрестности точки с f(х) > f(с) при X > с и f(x) < f(с) при х < с. Возрастание функции f{x) в точке с доказано. Случай f (c) < 0 рассматривается аналогично.

ВОПРОС 51 Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума. Пусть функция f(x) определена всюду в некоторой окрестности точки С. DEF. Функция f(x) имеет b точке С локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум. Теорема (теорема Ферма). Пусть функция f(x) определена на интервале (а,b) и в некоторой окрестности точка Хо этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке Хо существует производная, то она равна 0,т.е. f’(Хо)=0. Доказательство: Т.к. функция у= f(x) в точке С имеет конечную производную, то возможно три случая: 1) f '(c) > 0, 2) f '(c) <0, 3) f '(c)=0. Т.к точка С – это локальный экстремум, то функция у= f(x) не является возрастающей и убывающей и следовательно не выполняется достаточное условие возрастания и убывания, а это значит что остается, что f '(c)=0.

ВОПРОС 52 Теорема Ролля. Пусть на [a,b] определена функция f(x), причем: 1} f(x) непрерывна на [a,b]; 2) f(x) дифференцируема на (a,b) 3)f(a)=f(b), тогда существует точка с(а,b), в которой f'(c) =0. Доказательство: Так как функция f{x) непрерывна на [а, b], то она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение т, т.е. существуют такие точки х1,х2[а,b], что f(х1)=m, f(x2)=М, и выполняются неравенства . Возможны два случая: 1) т = М ; 2) т < М. В первом случае f(x)=const = m = М . Поэтому производная f’(х) равна нулю в любой точке [а, b], и теорема доказана. Во тором случае так как f(а) = f(b), то хотя бы одно из двух значений М и m, не принимается на концах отрезка [а, b], т.е. существует точка с (а,b), в которой функция f(х) принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале (а, b). В этом случае, так как f(x) дифференцируема в точке С, из теоремы ферма следует, что f'(с) =0. Т. доказ.

Вопрос 53. Теорема Лагранжа. Пусть на [а,b] определена функция f{x), причём: 1) f(х) непрерывна на [а,b] 2) дифференцируема на (а,b). Тогда существует точка с  (а, b) такая, что справедлива формула ' . Доказательство: Введем в рассмотрение вспомогательную функцию на [a,b] . Функция F(х) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля: 1) F(x) непрерывна на [a,b] (как разность двух непрерывных функций f(x) и линейной функции . 2) F(x) дифференцируема на (а;b),т.е. внутри [a,b] имеет производную, равную . . Следовательно, по теореме Ролля существует точка с(а,b) такая, что . Отсюда получаем .

ВОПРОС 54 Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [а,b] и дифференцируемы на (а, b). Пусть, кроме того, g’(x)= 0. Тогда существует точка с(a,b) такая, что справедлива формула . Доказательство: Покажем сначала, что g(b)-g(a) 0, т.е., что формула имеет смысл. Докажем формулу (2). Рассмотрим на [а,b] вспомогательную функцию . Нетрудно заметить, что F(x) на [а,b] удовлетворяет условиям тео­ремы Ролля:1) F(x') непрерывна на [a,b], 2)дифф на (а, b), кроме того, F(b) = 0 и F(a) = 0, т.е. F(a) = F(b). По теореме Ролля для функции F(x) существует точка с, а < с <b, такая, что F’(с) = 0. Так как . Учитывая, что g'(x) 0, получаем формулу (2).

ВОПРОС 55. Условие монотонности функции на интервале. Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на интервале (а,b) и на (а,b) то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). Доказательство: Докажем теорему для случая . Пусть Х1 и Х2 две произ­вольные точки из (а,b) и x1<Х2; тогда на отрезке [х1,х2] выполняются все условия теоремы Лагранжа, и следовательно выполняется условие По условию , поэтому , т.е. функция .f(x) не убывает на (a,b).

ВОПРОС 58. Стационарные точки. Первое достаточное условие экстремума. Локальный экстремум функции. DEF. Точка Хо называется точкой строгого локального Максимума (минимума) функции f(x), если для всех X из некоторой  окрестности точки Хо выполняется неравенство Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума: Теорема. Если функция f(х) имеет в точке Хо локальный экстремум. И дифференцируема в этой точке, то f'(Хо)= 0. Доказательство. Так как в точке Хо функция f(x) имеет локальный экстремум, то существует такой интервал (Хо-; Хо+), в котором значение f(Хо) является наибольшим или наименьшим среди всех других значений этой функции. Тогда по теореме Ферма производная функции в точке Хо равна нулю, т.е. f'(Хо) = 0. Первое достаточное условие локального экстремума: Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой  -окрестности точки Хо. Тогда, если f'(х)>0 (f’(х)<0) для всех х(хо-;Хо) и f '(x) < 0(f '(х)>0) для всех х(Хо ,Хо +), то в точке Хо функция f(х) имеет локальный максимум (минимум), если же f '(х) во всей  -окрестности точки Хо имеет один и тот же знак, то в точке Хо локального экстремума нет. Другими словами, если f '(х) при переходе через точку Хо меняет знак с «+», на «—« то Хо - точка локального максимума, если f'(x) в точке Хо меняет знак с «-» на»+»,то хо - точка локального минимума, если же f'(с) в точке Хо знака не меняет, то в точке Хо экстремума нет.

ВОПРОС 59. Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция имеет в данной стационарной точке С конечную вторую производную. Тогда функция f(x) имеет в точке С локальный максимум, если f’’(c) < 0 и локальный минимум, если f’’(c)>0. Доказательство: Доказательство проведем для точки максимума. Рассмотрим функцию f'(x). Так как С стационарная точка; то F’(c)=0. Так как f’’(с)<0, т.е; (f '(с))’< 0, то из достаточного условия возрастания и убывания функции в точке следует, что f'(x) убывает в точке С. Тогда существует такая окрестность точки С в пределах которой f'(x)> 0 слева от точки с и f'(х) <0 справа от точки С. Но тогда выполняется первое достаточное условие экстремума, и функция f(х) имеет в точке С локальный максимум, аналогичное доказательств для точки минимума.

ВОПРОС 61 НАПРАВЛЕНИЕ ВЫПУКЛОСТИ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА. Пусть функция у=f(х) дифф. на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции у = f(x) в любой точке M(x,f(x)) этого графика [а<х<b), причем касательная не параллельна оси OY, поскольку ее угловой коэффициент, равный f'(x), конечен. DEF. График функции у = f(x) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a,b).

Теорема. Если функция y= f(х) имеет на интервале (а,b) вторую производную и во всех точках (а, b), то график функции у= f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

ВОПРОС 62 Точки перегиба графиков функции. Необходимое условие точки перегиба. DEF. Точка М(Хо,f(Хо)) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки Хо в пределах которой график функции у =f(x) слева и справа от точки Хо имеет разные направления выпуклости. В точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой над нею, т.е. в окрестности точки перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую и перегибается через нее. Необходимое условие точки перегиба. Пусть график функции у =f(х) имеет перегиб в точке М(Хо,f(Хо)) и пусть функция у =f(x) имеет в точке Хо .непрерывную вторую производную, Тогда f’’(x) в точке Хо обращается в 0 т.е., f’’(Хо)=0. Доказательство.