Билет 3

Множество R, состоящее из всех целых положительных и отрицательных чисел, нуля и положительных и отрицательных дробей, называется множеством всех рациональных чисел.

Это множество имеет следующие свойства:

1. Свойство упорядоченности, которое заключается в том, что для любых рациональных чисел a и b имеет место одно и только одно из трех соотношений:

a = b, a < b, a > b,

примем, если a < b и b

2. Свойство плотности, выражающееся в том, что между любой парой рациональных чисел a и b содержится рационально число, а значит, и бесконечное множество рациональных чисел. Так, если a < b, то для r = (a + b)/2 имеем: a < r < b. Также можно было бы указать рациональные числа, содержащиеся между a и r, r и b, и т.д.

Все рациональные числа изображаются точками прямой. Это делается так. На прямой, бесконечной в обе стороны, берем произвольную точку и считаем ее изображением число 0. получаем нулевую точку, или начало. Для изображения числа 1 берем также произвольную точку правее начала. Этим устанавливается единица длины – отрезок прямой, с концами в точках 0 и 1. Откладываем теперь единицу длины n раз направо от начала, получим точку, изображающую число n, а налево от начала – точку, изображающую число –n. Таким путем получим целые точки. Для изображения дробного числа +- p/q делим единицу длины на q равных частей, затем одну часть откладываем p раз направо от начала – для изображения p/q и налево от начала – для изображения –p/q. Таким образом получим на прямой множество рациональных точек.

Свойства рациональных чисел

Рациональные числа удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.

1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа a = ma/na и b = mb/nb связаны тем же отношением, что и два целых числа ma/nb и mb/na; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа |b| и |a|; если же вдруг a неотрицательно, а b — отрицательно, то a > b.

"a, b Î Q: a < b ˅ b < a ˅ a = b

2. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.

"x, y, z Î Q: (x < y) Ù (y < z)→ x < z (транзитивность порядка);

3. Операция сложения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается (a + b), а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: (m1/n1) + (m2/n2) = (m1 ∙ n2 + m2 ∙ n1)/( n1 ∙ n2).

"a, b Î Q: $(a + b) Î Q

4. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

("x, yÎ Q): (x + y) = (y + x)

5. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

("x, y, z Î Q): (x + y) + z = x + (y + z)

6. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

($0Î Q) ("xÎ Q) : (x + 0 = x)

7. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

("x, yÎ Q) $(–x Î Q): (x + (–x) = 0).

8. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

"x, y, z Î Q: (x < y) → (x + z) < y + z

9. Операция умножения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается (a · b), а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: ma/na · mb/nb = ma · mb / na · na.

"a, b ÎQ: $(a · b) Î Q

10. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

"x, yÎ Q: (x ∙ y) = (y ∙ x);

11. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

"x, y, z Î Q: (x ∙ y) ∙ z = x ∙ (y ∙ z);

12. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

$1Î Q\{0}: "xÎ Q: x ∙ 1 = x;

13. Наличие обратных чисел. Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.

"xÎ Q\{0}:$x–1: x ∙ x–1 = 1.

14. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

"x, y, z Î Q: (x < y) Ù (z > 0) → y ∙ z < x ∙ z

15. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

("x, y, z Î Q: (x + y) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z

16. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число a, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a.

"a Î Q $n Î N: > a

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

· Второе отношение порядка «>» также транзитивно.

"x, y, z Î Q: (x > y) Ù (y > z)→ x > z (транзитивность порядка);

· Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.

"x Î Q: x · 0 = 0;

· Отсутствие делителей нуля.

· Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.

"a, b, c, d Î Q: a > b ˄ c > d → a + c > b + d

· Множество рациональных чисел Q является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел Z) относительно операций сложения и умножения дробей.

· Каждое рациональное число является алгебраическим.