Билет 4 Определение иррационального числа
Иррациона́льное
число́ — это вещественное число, которое
не является рациональным, то есть которое
не может быть представленным в виде
дроби
, где m — целое число, n — натуральное
число. О существовании иррациональных
чисел, точнее отрезков, несоизмеримых
с отрезком единичной длины, знали уже
древние математики: им была известна,
например, несоизмеримость диагонали и
стороны квадрата, что равносильно
иррациональности числа
.
Множество
иррациональных чисел обычно обозначается
заглавной латинской буквой «i» в
полужирном начертании без заливки —
. Таким образом:
, т.е. множество иррациональных чисел
есть разность множеств вещественных и
рациональных чисел.
Множество действительных чисел
Если множество рациональных чисел дополнить множеством иррациональных чисел, то вместе они оставят множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (-∞, +∞) или (-∞, ∞).
Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей; конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа.
Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Математики обычно, говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин числовая прямая.
Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая — объект геометрии. Нет ли тут «смешения жанров»? Нет, все логично, все продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство различных областей математики, дает возможность отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой».
Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель оберегал вас от такой неприятности.
Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее единичном отрезке построен квадрат (рис. 100), диагональ квадрата OB отложена на координатной прямой от точки О вправо, получилась точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали квадрата, т. е. . Это число, как мы теперь знаем, не целое и не дробь. Значит, ни в 5-м, ни в 6-м, ни в 7-м классе координату точки D вы бы найти не смогли. Потому мы до сих пор и говорили «координатная прямая», а не «числовая прямая».
Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то не было. На самом деле переменные могут принимать любые допустимые действительные значения. Например, в тождестве
в роли a и b могут выступать любые числа, не обязательно рациональные. Этим мы уже пользовались в конце предыдущего урока. Этим же мы пользовались и в уроке 18 "Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня"— в частности, в примерах 6, 7, 8 из этого урока.
Для действительных чисел a, b, c выполняются привычные законы:
и
т.д.
Выполняются и привычные правила:
произведение (частное) двух положительных чисел — положительное число;
произведение (частное) двух отрицательных чисел — положительное число;
произведение (частное) положительного и отрицательного числа — отрицательное число.
Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение.
Определение. Говорят, что действительное число a больше (меньше) действительного числа b, если их разность а - b — положительное (отрицательное) число. Пишут a > b (a < b).
Из этого определения следует, что всякое положительное число a больше нуля (поскольку разность a - 0 = a — положительное число), а всякое отрицательное число b меньше нуля (поскольку разность b - 0 = b — отрицательное число).
Итак,
a > 0 означает, что a — положительное число;
a < 0 означает, что a — отрицательное число;
a > b означает, что a - b — положительное число, т. е. a - b > 0;
a < b означает, что a - b — отрицательное число, т.е. a - b < 0.
Наряду со знаками строгих неравенств (>, <) используют знаки нестрогих неравенств:
означает, что a больше нуля или равно нулю, т. е. a — неотрицательное число (положительное или 0), или что a не меньше нуля;
означает, что a меньше нуля или равно нулю, т. е. a — неположительное число (отрицательное или 0), или что a не больше нуля;
означает, что a больше или равно b, т. е. a - b — неотрицательное число, или что a не меньше b; ;
a-b>=0
a<=b означает, что a меньше или равно b, т. е. a - b — неположительное число, или что a не больше b; .
a-b<=0
Например,
для любого числа a верно неравенство 
; для любых чисел a и b верно неравенство
.
Впрочем, для сравнения действительных чисел необязательно каждый раз составлять их разность и выяснять, положительна она или отрицательна. Можно сделать соответствующий вывод, сравнивая записи чисел в виде десятичных дробей. Геометрическая модель множества действительных чисел, т. е. числовая прямая, делает операцию сравнения чисел особенно наглядной: из двух чисел a, b больше то, которое располагается на числовой прямой правее. Таким образом, к сравнению действительных чисел нужно подходить достаточно гибко, что мы и используем в следующем примере.