Растяжение и сжатие. Эпюры продольных сил и нормальных напряжений
Растяжением или сжатием называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила N, действующая перпендикулярно плоскости поперечного сечения.
Многие детали и узлы авиатехники в процессе эксплуатации испытывают деформацию растяжения или сжатия. Болты и шпильки при затяжке растягиваются. Тяги управления самолетом и двигателем, в зависимости от характера и режима полета, растягиваются или сжимаются. Растяжение и сжатие воспринимают полки лонжеронов, шатуны кривошипных механизмов, рама крепления двигателя к самолету, стойки шасси и т.д.
Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют силы 2F и 3F (рис. 2.4).
1. Разбиваем брус на участки, границами которого являются точки приложения сосредоточенных сил или изменение поперечного сечения.
2. Методом сечений
на каждом участке определяем продольные
силы N1 и
N2,
начиная со свободного конца. Во всех
точках поперечного сечения бруса будут
действовать внутренние распределенные
силы, равнодействующая которых определится
из условия равновесия одной из частей
бруса.
Σ Z = - N1 + 3F = 0, N1 = 3F.
Рис. 2.4
Аналогично находим продольную силу N2: Σ Z =- N2 -2F + 3F = 0, N2 = F.
В пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение. Растягивающие продольные силы будем считать положительными, а сжимающие - отрицательными.
3. Нормальные напряжения равномерно распределенные по сечению определяются по формуле:
σ =
(2.5)
Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется тоже правило знаков, что и для продольных сил (рис. 2.4).
Условие прочности при растяжении - сжатии:
max = < [σ ] (2.6)
Три задачи, решаемые из условия прочности:
1. Определение безопасной нагрузки, если известны размеры и материал F=N < A [ σ ]
2.
Проектный расчет - определение размеров
поперечного сечения, если известна
нагрузка и материал A > 
3. Проверка прочности σmax < [ σ ].
Деформации при растяжении, сжатии. Закон Гука. Английский ученый Роберт Гук (1635-1703) установил зависимость между напряжением и деформацией, которое формулируется так: н о р м а л ь н о е н а п р я ж е н и е
п р я м о п р о п о р ц и о н а л ь н о о т н о с и т е л ь н о м у у д л и н е н и ю или у к о р о ч е н и ю.
Математически закон можно записать в виде равенства:
σ = E ε . (2.7)
Коэффициент пропорциональности E характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.
Модуль упругости и напряжения выражаются в одинаковых единицах:
E = σ / ε (MПа).
Значения E, МПа, для некоторых материалов:
Чугун ...............(1,5...1,6) 105
Сталь................(1,96...2,1) 105
Сплавы алюминия......(0,69...0,71) 105
Титановые сплавы…..1,1 105
Если
в формулу закона Гука подставить
выражения относительной продольной
деформации 
и
нормального напряжения 
,
то абсолютная продольная деформация
.
(2.8)
Произведение EA, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии. Эта формула читается так: а б с о л ю т н о е у д л и н е н и е или у к о р о ч е н и е п р я м о п р о п о р ц и о н а л ь н о п р о-
д о л ь н о й с и л е, д л и н е и о б р а т н о п р о п о р ц и о н а л ь н о ж е с т к о с т и с е ч е н и я б р у с а.
l = l1 - l
Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе.
Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, величиной продольной силы, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:
Δ l = Σ (Δ li).
При растяжении и сжатии возникает и поперечная деформация стержня. Поперечный размер бруса первоначально равный b, уменьшился до b1 . Абсолютное сужение Δb = b – b1.
Отношение абсолютной поперечной деформации к первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией
ε' = Δb/ b
Рис. 2.5
Опытами
французского ученого Пуассона (1781-1840)
установлено, что отношение относительной
поперечной деформации к относительной
продольной деформации есть величина
постоянная для данного материала и
называется коэффициентом поперечной
деформации или коэффициентом
Пуассона
μ =
.
Коэффициент Пуассона, как и модуль упругости первого рода, зависит только от материала и характеризует его упругие свойства. Коэффициент Пуассона величина безразмерная. Значения для некоторых материалов: Сталь – 0,24...0,30; Ал. сплавы – 0,3…0,35
18.
Под
действием силы 
,
приложенной касательно к верхней грани,
брусок получает деформацию сдвига.
Пусть АВ – плоскость сдвига (рис. 4.4).
Рисунок
4.4
Назовем величину γ, равную тангенсу угла сдвига φ, относительным сдвигом:
здесь ∆ x – абсолютный сдвиг.
При упругих деформациях угол φ бывает очень малым, поэтому
.
Таким образом, относительный сдвиг
.
|
|
(4.3.5) |
|
где S – площадь плоскости АВ.
Опытным путем доказано, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:
|
|
(4.3.6) |
|
где G – модуль сдвига, зависящий от свойств материала и равный такому тангенциальному напряжению, при котором γ = tg φ = 1, а φ = 45° (если бы столь огромные упругие деформации были возможны).
Модуль сдвига измеряется так же, как и модуль Юнга в паскалях (Па).
Удельная потенциальная энергия деформируемого тела при сдвиге равна:
|
|
