Тема №1

Краткий исторический очерк

1. Альбрехт Дюрер (16 в.) – ортогональные проекции;

2. Рене Декарт (17 в.) – метод координат;

3. Гаспар Монж (18 в.) развитие техники:

   • обобщение научных трудов предшественников;

   • создание единой математической науки об ортогональном проецировании.

Начертательная геометрия это «искусство представлять на листе бумаги, имеющем только два измерения, предметы, имеющие три размера, которые подчинены точному определению»;

- курс лекций в 1795г.;

- книга в 1798 г.

4. Ученик Монжа Бетанкур – первый ректор Института Корпуса Путей Сообщения (1809 г.);

5. Карл Потье – первый учебник в России (1816 г.);

6. Я. И. Севастьянов – учебник на русском языке (1821 г.);

7. Дуров, Редер, Макаров, Курдюмов, Рынин, Каргин..

1. Метод проекций

1.1 Предмет начертательной геометрии

Начертательная геометрия – наука, изучающая способы, позволяющие преобразовать трехмерную фигуру в двумерную и наоборот, соединяя два раздела классической геометрии – стереометрию и планиметрию.

0. 1.2 Способы проецирования

Проекцией точки А на плоскость проекций π₁ называется А пересечения проецирующей прямой l, проходящей через точку А, с плоскостью проекций π₁.

Рис. 1

l и π₁ определяют аппарат проецирования. При заданном аппарате каждой точке пространства соответствует одна точка на плоскости.

1.3 Центральное и параллельное проецирование

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

1.4 Инвариантные свойства параллельного проецирования

При проецировании изменяются метрические характеристики объектов. Сохраняются лишь некоторые свойства оригинала. Такие постоянные, неизменяемые свойства, характерные для данного способа проецирования, называются инвариантными.

1. А=> А^I

2. а не ┴ π => а ; АВ || s => А^I ≡ В^I Рис 9.1

3. К э а => К^I э а^I Рис. 5

4. а || b => а^I || b^I Рис. 6

5. [AB] || [CD] => |AB| || |A^IB^I|

|CD| |C^ID^I| Рис. 6

6. АК = |А^IК^I| = m

КВ |К^IВ^I| n Рис. 5

7. К = a ∩ b => К^I = a^I ∩ b^I Рис. 7

8. Параллельный перенос Рис. 8

9. Плоский многоугольник Рис. 8

АВС э α при этом α ┴ π₁ => А^IВ^IС^I - прямая. Рис 9.2

10. Теорема о проецировании прямого угла (действует только для ортогонального проецирования) Рис. 10

1.5 Ортогональное проецирование

1. Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций π₁, π₂, π_3.

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

2. Пример. Точка расположена в I пространственном углу.

А( 5; 6; 5 )

Рис. 14

Рис. 15

3. Теорема Монжа Рис. 15:

- А^I А^II ┴ к О_х

- А^II А^III ┴ к О_z

- А_х А^I = А_z А^III

Тема №2

2. Проецирование прямой

2.1 Способы задания прямой линии

Согласно инвариантному свойству 2 проекция прямой есть прямая. На эпюре прямая может быть задана Рис. 16

- линией (а^I, а^II);

- двумя точками ( А^I А^II и В^I В^II );

- отрезком ( С^I D^I, C^II D^II ).

2.2 Частные положения прямой в пространстве

1. Горизонтальная прямая ( h^I, h^II )

h || π₁ => h^II || O_x Рис. 17

β° = h ^ π₂

2. Фронтальная прямая (f^I, f^II )

f || π₂ => f ^I || O_x Рис. 18

α ° = f ^ π₁

3. Профильная прямая ( p^I, p^II )

p || π₃ => ( p^I, p^II ) O_x Рис. 19

φ° = p ^ π₁

γ° = p ^ π₂

4. Если прямые принадлежат плоскостям проекций, то это частные случаи п.п. 1-3

Рис. 20, 21, 22

5. Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные плоскостям проекций.

Рис. 23, 24, 25

2.3 Прямая и точка

Согласно инвариантному свойству 3 проекция точки, принадлежащей прямой, принадлежит соответствующим проекциям прямой. Рис. 26

Согласно инвариантному свойству 6 точка и ее проекция делят отрезок и его проекции на пропорциональные части. Рис.26

2.4 Взаимное положение прямых

1. Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.

Согласно инвариантному свойству 7 проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проекций этих прямых. Рис. 27

2. Параллельные прямые не имеют точек пересечения.

Согласно инвариантному свойству 4 проекции параллельных прямых параллельны. Рис. 28

3. Скрещивающиеся прямые в одной плоскости проекций имеют общую точку, а в другой – не имеют. Рис. 29

4. Перпендикулярные прямые.

Прямой угол проецируется без искажения, если не только обе, но хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей. (инвариантное свойство 10). Рис. 10, 30

2.5 Следы и видимость прямой линии. Характеристика прямой

Следом прямой называется точка пересечения ее с плоскостями проекций. В системе двух плоскостей проекций рассматривается горизонтальный \

H (H^I,H^II ) и фронтальный F (F^I, F^II ) следы.

АВ ∩ π₁ = Н

АВ ∩ π₂ = F Рис. 31, 32

Если прямая частного положения, то у нее может быть один, или вообще нет следов.

Считается, что наблюдатель располагается в первом пространственном углу на бесконечном удалении от объекта наблюдателя. Соответственно видимыми (сплошными) будут объекты, расположенные в первом пространственном углу.

Характеристикой прямой называется перечисление пространственных углов и плоскостей проекций, по которым прямая проходит и которые она пересекает в результате своего движения в пространстве.

2.6 Определение длины отрезка и углов наклона его к плоскостям проекций

Рассмотрим отрезок АВ и его горизонтальную (А^I В^I ) проекцию.

Рис. 33

Аналогично рассмотрим отрезок А₁В₁ и его фронтальную (А₁^II В₁^II) проекцию.

Рис. 34

Рассмотрим пример на эпюре

Рис. 35

2.7 Метод конкурирующих точек

Конкурирующие точки располагаются на скрещивающихся прямых

Рис. 36, 37

Метод конкурирующих точек заключается в определении взаимной видимости точек по их несовпадающим проекциям.