№ 2.3
Условие: есть два заряда, q1 и q2 с радиус векторами r1 и r2, соответственно.
Найти, каким должен быть третий заряд q3, и каким должен быть его радиус-вектор r3, чтобы суммарная сила взаимодействия для всех зарядов была нулевой?
Решение:
Рассмотрим третий заряд: из равенства по модулю действующих на него сил:
Решая это квадратное уравнение относительно x, получим:
Из рисунка видно, что , тогда
Рассматривая первый заряд,
№2.5
Два небольших одинаково заряженных шарика массой m подвешены к одной точке на шелковых нитях, образующих между собой малый угол и находятся на одном уровне. Найти скорость утечки заряда с каждого шарика, если скорость сближения шариков постоянна и равна V.
Решение:
l
x Fk
mg
tg ;
Fk= ; - сила Кулоновского взаимодействия
подставим: ;
V=dx/dt=l
Выразим угол:
Тогда
Скорость утечки заряда ={ }=
№-2.007.
Тонкое проволочное кольцо =100мм имеет электрический заряд =50мкКл.Каково будет приращение силы ,растягивающей проволоку ,если в центре кольца поместить точечный заряд
=7.0мкКл ?
Решение:
; а ; ;
Ответ: .
№ 2.9
В вершинах квадрата с диагональю 2l=100 мм находятся одинаковые по модулю (q=2.5мкК) точечные заряды, знаки которых при обходе квадрата расположены в порядке ‘+’,’+’,’-‘,’-‘. Найти напряжённость Е электрического поля в точке, отстоящей на расстоянии х=50 мм от центра квадрата и расположенной симметрично относительно вершин.
Получаем равнобокую пирамиду с квадратным основанием. В проекции на высоту получаем 0.А в проекции на основание квадрат с полудиагоналями напряженность от 1 заряда
Суммарное воздействие
Ответ:
2.13. Полубесконечный круглый цилиндр радиуса R заряжен равномерно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд . Найти напряженность электрического поля в центре основания цилиндра.
Решение:
Разобьем цилиндр на множество колец. В центре основания цилиндра поле перпендикулярно этому основанию т. к. тангенциальные составляющие взаимно компенсируются. Тогда можно проинтегрировать по углу:
Пусть dq – заряд элементa dl длины цилиндра, видимого под углом d, – угол между направлениями на край цилиндра и dl из центра основания, r – расстояние от центра основания до dl,
Ответ: .
№ 2.17
Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью =0cos, где 0 постоянная, - азимутальный угол. Найти модуль напряженности электрического поля :
а) в центре кольца ;
б) на оси кольца в зависимости от расстояния x от до его центра. Исследовать полученное
выражение при x>>R .
Р ешение:
а)
Выделем маленький участок кольца dr=Rd
Считая заряд на нем распределенным равномерно, получим
dq=0cosRd;
Разложим составляющие E на Ex и Ey
Ex=EsinEy=Ecos
;
;
тогда ;
;
;
б)
Р ассмотрим действие небольшого элемента кольца dr на расстоянии x от центра:
dq=cosRd
|dE| ;
Разложим вектор dE на dEx ,dEy и dEz
Очевидно что из-за симметрии cosсумма всехdEx и dEy будет равна нулю (левое полукольцо(заряжено противоположно правому) действует в проекциях на Ox и Oy с той же силой, но в противоположном направлении, что и правое полукольцо).
dEz=dEsin
r2=x2+R2 (одинаково для всех точек кольца);
Тогда из рисунка : ;
; ;
Ответ:
а) ;
б) .
2.19. Длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд λ на единицу длины. Найти модуль и направление электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние y и находиться на перпендикуляре к нити, проходящем через один из её концов.
Решение:
Выделили элемент dx, его заряд dq= λ*dx.
Напряжённость поля от этого элемента в точке O в проекции на Оv:
Для проекции на Ou:
И направлен под углом 450 к нити.
Ответ:
2.26 Две скрещивающиеся, взаимно-перпендикулярные нити бесконечной длины заряжены равномерно с линейной плотностью . Найти силу их взаимодействия.
Решение: copyright 2001 Андрюха, 13РФ.
Пусть наименьшее расстояние между точками нити . Примем координату одной из этих точек и координату другой за нули. Тогда сила взаимодействия двух элементов нитей и равна , а результирующая сила взаимодействия нитей .
2.30 Напряженность электрического поля E=arr, где a- постоянная, r- расстояние от центра поля. Найти плотность зарядов ρ(r), создающих это поле.
Решение:
Уравнение Максвелла:
Ответ: .
2.38. Условие: Тонкое кольцо R=25 см. имеет заряд q=5,0 мкКл, неравномерно распределённый по кольцу. Найти работу электрических сил по перемещению точечного заряда q1=10ккК из центра кольца по произвольному пути в точку, находящуюся на оси кольца на l=50 см от его центра.
Решение: Работа по перемещению заряда не зависит от траектории.
A=1-2;
1=qq1/(4R0);
d2=q1dq/(40 );
2=qq1/(40 );
A==1-2=qq1(1- )/(40)=0,1 Дж;
Задача № 2.39 (3.32)
Находящаяся в вакууме круглая тонкая пластинка радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Найти потенциал и модуль напряженности электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния l от ее центра.
Решение:
Для кольца напряженность:
где dr – толщина кольца;
Разбивая диск на кольца получаем: для потенциала: Проинтегрируем и получим:
;
2.40
Условие:
Коническая поверхность с основанием радиуса R и углом между боковой поверхностью и прямой соединяющей центр основания и вершину β, равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Найти потенциал в вершине конуса.
Решение:
Рассмотрим точечный заряд q, находящийся на расстоянии r от вершины конуса. Создаваемый им потенциал равен:
Просуммируем потенциалы, создаваемые элементарными кольцами по всему конусу:
Ответ:
№ 2.51.
Два коаксиальных кольца, каждое радиуса R, из тонкой проволоки находятся на малом расстоянии l друг от друга (l<<R) и имеют заряды q и –q. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты х.
РЕШЕНИЕ:
Найдем зависимость потенциала системы от расстояния.
В ыразим через полученное значение напряженность.
О ТВЕТ.
2.58 Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра как , где и - постоянные. Найти распределение объёмного заряда внутри шара.
Решение: copyright 2001 Андрюха, 13РФ.
. Возьмём две концентрические сферы радиусами и . Тогда между ними заключен заряд . По теореме Гаусса .Приравнивая, получаем .
2.64
Точечный заряд q находиться между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостями. Расстояние от заряда до каждой полуплоскости l. Найти модуль силы, действующей на заряд.
Решение:
Полуплоскости равносильны трём точечным зарядам, которые находятся в вершинах квадрата со стороной 2l, в четвертой вершине – заряд из условия. Знаки и значения зарядов на диагоналях совпадают и противоположны другой диагонали. По закону Кулона:
Ответ:
2.64
Точечный заряд q находиться между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостями. Расстояние от заряда до каждой полуплоскости l. Найти модуль силы, действующей на заряд.
Решение:
Полуплоскости равносильны трём точечным зарядам, которые находятся в вершинах квадрата со стороной 2l, в четвертой вершине – заряд из условия. Знаки и значения зарядов на диагоналях совпадают и противоположны другой диагонали. По закону Кулона:
Ответ:
№ 2.66.
Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей безграничной плоскости. Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния r от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.
РЕШЕНИЕ.
Так как плоскость проводящая, можем записать.
ОТВЕТ: .
№2.68.
Условие:
На расстоянии l от плоскости из диэлектрика перпендикулярно ей расположена равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда . Найти поверхностную плотность заряда на плоскости на расстоянии r от точки проекции нити на плоскость и в точке проекции.
Решение: рассмотрим срез ( т. к. поле симметрично относительно нити)
При рассмотрении создаваемого на достаточно маленьком расстоянии от поверхности плоскости поля можно пренебречь его параллельной компонентой, а рассмотреть лишь перпендикулярную компоненту, рассчитываемую по формуле:
, тогда имеем:
, тогда
№2.71
Заряд q распределен неравномерно по тонкому кольцу радиуса R. На расстоянии l от центра кольца на его оси расположен центр проводящей незаряженной сферы. Найти её потенциал.
Решение:
, (внутри сферы потенциал постоянен)
№-2.074.
4 большие металлические пластины расположены на малом расстоянии d друг от друга.
Внешние пластины соеденены проводником , а на внутренние подана разность потенциалов . Найти: а)напряжённость электрического поля между пластинами;
б)суммарный заряд на единицу площади каждой пластины.
Решение:
1 По определению :
2 Эту систему можно рассмотреть как систему 3-х конденсаторов
3
одинаковых ёмкостей. Два из них соеденены последовательно ,а 3-й
4
параллельно им. Следовательно напряжение на каждом из 2-х соедененых последовательно конденсаторах напряжение будет равно ; ;
Исходя из тех же соображений можно записать: ;
Можно также записать ; Отсюда находим :
а ; и ; ;
Ответ: ;
; .
2.77. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу поверхности произвольного проводника в точке, где = 46 мкКл/м2.
Решение:
Примечание: в данной задаче используется модель, в которой полагается, что поле у поверхности проводника такое же, как у поверхности заряженной плоскости.
Ответ:
№2.79
Условие задачи:
Незаряженный проводящий шар радиуса r поместили в однородное поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью , где - полярный угол. Найти модуль суммарной электрической силы, действующей на весь индуцированный заряд одного знака.
Рисунок:
Решение:
Найдем суммарный заряд одного знака, проинтегрировав по половине поверхности:
Найдем силу, действующую на весь индуцированный заряд одного знака:
F=Eq= ,
где Ф-поток вектора напряженности э/ст. поля через половину поверхности шара
Ответ: F=
№ 2.80
Найти энергию упругого диполя с поляризованностью p=Eво внешнем электрическом поле с напряженностью E .
Решение:
M=[pE] однако , так как при повороте диполя относительно E диполь удлиняется или сжимается, т.е. плечо силы изменяется, то M не постоянен.
M=[ElE] , El - вектор проекции поля на диполь El=Ecos