1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

, .

2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах:

Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.

Теорема. Пусть , , . Тогда:

1) ;

2) .

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними

вектор ортогонален каждому из векторов и

вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е

Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть

Векторное произведение обладает распределительным свойством:

№13

Матрица перехода

У этого термина существуют и другие значения, см. Матрицы переходных вероятностей.

Ма́трицей перехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .

Обозначается

№14

Векторы и линейные операции над ними

О: Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, характеризующийся длиной и направлением Из двух граничных точек этого отрезка одна является началом, а другая — концом. Вектор обозначается или , где А — начало,В — конец вектора; длина вектора (модуль) обозначается символом или

Нуль-вектором называют вектор, конец которого совпадает с началом.

Рис. 2.1

О: Коллинеарными называют векторы, расположенные на параллельных (в частности, на одной) прямых, а компланарными — векторы, расположенные в параллельных плоскостях.

О: Равными считаются векторы, которые:

1) Коллинеарны;

2) Одинаково направлены (сонаправлены —);

3) Имеют равные модули.

Отсюда следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, перемешая начало А в любую другую точку. Такие векторы называются свободными.

Линейные операции над векторами: операции сложения, вычитания и умножения на число.

Определение Проекцией вектора на ось называется разность проекций конца вектора и его начала.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.

№15.1