- •12.Линейные операторы. Примеры. Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Действия над линейными операторами.
- •15.Евклидово пространство и тд.
- •16. Метод наименьших квадратов…Системы норм ур-ий.
- •17. Билинейные и квадратичные формы. Сумма квадратов. Лагранж.
- •18 ,19 Итерационные методы решения систем:
- •20.Смешанное произведение трех векторов и его приложения. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
- •21. Уравнение прямой на плоскости, заданной точкой и нормальным вектором.
- •22. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в отрезках.
16. Метод наименьших квадратов…Системы норм ур-ий.
Для произвольного вектора х = (x1,x2, ... ,хп)T вектор δ = Ах -b называется вектором невязки. х является решением системы Ах =b, когда вектор невязки равен 0 (или норма вектора невязки равна нулю).Под псевдоре-шением системы Ах = b понимают любой вектор x, для которого ||А –b|| достигает наименьшего значения. Псевдорешение с наименьшей длиной вектора невязки называется нормальным псевдорешением. Оно всегда существует. Метод наименьших квадратов основывается на использовании евклидовой нормы для вычисления длины вектора невязки δ, т.е. минимизируется || δ ||=√ δT δ. Поскольку система Ах =b несовместна, то b не является линейной комбинацией вектор-столбцов матрицы А. Норма вектора невязки ||Аx –b|| представляет собой расстояние от b до вектора Ах, лежащего в пространстве столбцов матрицы А (так как Ах -линейная комбинация вектор-столбцов матрицы А с коэффициентами х1,..., хп).И нахождение псевдорешения х системы Ах=b по методу наименьших квадратов эквивалентно нахождению вектора р = А , наиболее близкого к b, т.е. вектор р должен быть проекцией вектора b на пространство вектор-столбцов матрицы А, и вектор невязки А -b должен быть ортогонален к этому пространству.
Каждый вектор в пространстве столбцов матрицы А является линейной комбинацией столбцов с некоторыми коэффициентами y1,...,yn т.е. это вектор вида Ау. Для всех у эти векторы на плоскости должны быть перпендикулярны вектору невязки А -b, т.е. (Ау}T(А -b) = 0 или уT(АTА - АТb) = 0. Последнее равенство должно выполняться для произвольного вектора у. Отсюда следует, что АTА -АТb = 0 или АTА = АTb.
Система АTА = АТb носит название системы нормальных уравнений. Если ранг матрицы А равен n, то нормальное псевдорешение является обычным решением квадратной системы нормальных уравнений, т.е. = (АТА)-1АТb.
Для произвольного вектора вектор S=Ax-b называется вектором невязки. Х является решением системы Ax=b, когда вектор невязки равен 0 (или норма вектора невязки равна 0). Под псевдорешением системы Ax=b понимают любой вектор , для которого достигает наименьшего значения. Псевдорешение с наим. длиной вектора невязки наз-ся нормальным псевдорешением. Оно всегда существует.
Метод наименьших квадратов. Основывается на использовании евклидовой нормы для вычисления длины вектора невязки S, т.е. минимизируется .
Нахождение псевдорешения системы Ax=b по методу наим. квадратов эквивалентно нахождению вектора , наиболее близкого к b.
Каждый вектор в пространстве столбцов матрицы А явл-ся линейной комбинацией столбцов с некоторыми коэффициентами , другими словами, это вектор вида Ay. Для всех у эти векторы на плоскости должны быть перпендикулярны вектору невязки , т.е. или . Последнее равенство должно выполнятся для произвольного вектора у. Отсюда следует: или .
Система наз-ся системой нормальных уравнений.
Если ранг матрицы равен n, то нормальное псевдорешение явл-ся обычным решением квадратной системы нормальных уравнений, т.е. .