Логико-вероятностные методы

Математическая постановка задачи

В этих методах элемент

может находиться только в 2-х состояниях:

- работоспособном

- неработоспособном

Каждому элементу структуры системы ставится в соответствие логическая переменная x_i

Исходя из условий функционирования системы для неё могут записываться сложные логические функции, описывающие условия нормального (безотказного) функционирования –

Функции работоспособности (ФР) и

Функции неработоспособности (ФНР)

(с инверсией)

(n – размерность системы)

P(f_ФР=1) = P_С – вероятность безотказного функционирования системы

P(f_ФР=0) = 1-P_C = Q_C – вероятность отказа системы

P(f_ФНР=1) = Q_C

P(f_ФНР=0) = 1-Q_C = P_C

ФАЛ –> P(P_i) , где P_i – вероятностный полином. Связывает P_C с P_i.

(задаёт)

Этапы решения:

1. По схеме формируются ФАЛ.

2. ФАЛ преобразуется к одному из видов, где допускается замещение логических переменных вероятностными показателями.

3. Замещение.

4. Получаем вероятностный полином.

Модель имеет существенные ограничения, но область применимости гораздо шире остальных методов.

Запись ФАЛ.

Существует 3 подхода:

1. Метод минимальных путей.

2. Метод минимальных сечений.

3. Метод записи ФАЛ в виде системы логических уравнений.

Метод минимальных путей.

Минимальный путь – некая совокупность элементов системы, отказ любого элемента из которой приведёт к отказу системы, если все прочие элементы системы (вне совокупности) находятся в отказавшем состоянии.

Это последовательное соединение элементов.

Перечисление минимальных путей задаёт структурно-надёжностную схему:

Примеры:

В этой системе только один минимальный путь.

Любой минимальный путь – конъюнкция логических переменных, соответствующих элементам, лежащим на пути.

1-ый путь - элемент 1 - x₁

2-ый путь - элемент 2 - x₂

3-ий путь - элемент 3 - x₃

3. Мостик

- структурная схема

- структурно-надёжностная схема (пути)

Запишем:

Система работоспособна если работает хотя бы один путь.

ФАЛ в общем виде:

где: – по всем минимальным путям

– по всем i принадлежащему l-тому минимальному пути.

– множество минимальных путей системы.

Метод минимальных сечений.

Минимальное сечение – совокупность элементов системы, переход любого элемента которой из неработоспособного состояния в работоспособное приведёт к переходу системы в работоспособное состояние, если остальные элементы (вне совокупности) работоспособны.

Подход аналогичен с точностью до наоборот.

- три сечения

Получим:

где: & – по сечению

x_i – по элементам сечения

- одно сечение

Для получения точных ФАЛ нужно перебрать всё многообразие возможных путей и сечений.

Если при формировании ФАЛ по путям перебрали не все пути, ФАЛ будет приближенно вероятностным показателем. (P_C будет заниженным)

Если при формировании ФАЛ по сечениям перебрать не всё многообразие сечений, то вероятность P_C будет завышенной.