- •Лекция 5.
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •1. Дифференциальные уравнения второго порядка,
- •1. 2. Линейные дифференциальные уравнения второго
- •1. 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •1. 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
1. 2. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка.
Уравнение (1)
называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Если , то уравнение (1) называется неоднородным.
Если , то уравнение (2)
называется однородным.
Для однородного уравнения справедлива следующая теорема.
Теорема. Если функции и являются решениями одно-
родного уравнения (2), то функция , где С1 и С2 – постоянные, также есть решение этого уравнения.
Определение. Два решения и уравнения (2) называются линейно независимыми, если их отношение отлично от постоянной величины. В противном случае решения называются линейно зависимыми.
Для нахождения общего решения однородного уравнения достаточно
найти два линейно независимых его решения.
Способ решения неоднородных уравнений (1) определяется следую-
щей теоремой.
Теорема. Общее решение у неоднородного уравнения (1) равно сум-
ме общего решения соответствующего однородного уравнения (2) и какого − нибудь частного решения уравнения (1), то есть .
1. 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение , (1)
где p и q – действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения (1) находится с помощью характеристи-
ческого уравнения , получаемого из данного уравнения (1),
если сохраняя в нем коэффициенты р и q, заменить функцию у единицей,
а все ее производные соответствующими степенями к.
При этом:
1) Если корни к1 и к2 характеристического уравнения действитель-
ные различные, то общее решение уравнения (1) выражается формулой
. (2)
2) Если характеристическое уравнение имеет действительные равные корни к1 = к2 , то общее решение уравнения (1) выражается формулой
. (3)
3) Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни
i , то общее решение уравнения (1) есть
. (4)
Пример 1. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .
Решение. Для нахождения общего решения данного уравнения сос-
тавляем характеристическое уравнение к2 −4к +3 = 0, имеющее корнями
числа к1 = 1, к2 = 3. По правилу 1) общим решением данного уравнения
является функция .
Используя начальные условия, определяем значения постоянных С1
и С2 . Подставляя в общее решение заданные значения х = 0, у = 6 (первое
начальное условие), получим 6 = С1 + С2 .
Дифференцируя общее решение уравнения, имеем
И подставляя в полученное выражение х = 0, у = 10 (второе начальное условие), получаем второе уравнение с неизвестными С1 и С2 :
10 = С1 + 3С2 .
Решая полученную систему уравнений
, находим С1 = 4, С2 = 2 .
Подставляя значения С1 = 4 и С2 = 2 в общее решение уравнения,
получим искомое частное решение данного уравнения, удовлетворяющее
заданным начальным условиям:
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни
.
По формуле (4) общее решение данного уравнения имеет вид
. Полагая в этом равенстве α = 0, β = 4, получим общее решение данного уравнения: .