Билет 1

1) Двумерное преобразование Фурье-Преобразование непрерывной функции

Прямое и обратное Фурье-преобразование непрерывной и интегрируемой функции двух переменных выражаются соотношениями:

Здесь x, y – координаты в плоскости объекта, u, v – пространственные частоты – координаты в спектральной плоскости.

Общее: Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:

2) Фильтр Баттерворта высоких частот. Соотношение. Свойства.

П ередаточная функция высокочастотного фильтра Баттерворта (БФВЧ) порядка n с частотой среза на расстоянии от начала координат задается формулой , где расстояние D(и,v).

Билет 2

1)Основные этапы фильтрации в частотной области

Процедура фильтрации в частотной области проста и состоит из следующих шагов: 1)Исходное изображение умножается на , чтобы его фурье-преобразование оказалось, центрированным; 2) Вычисляется прямое ДПФ изображения, полученного после шага 1; 3) Функция умножается на функцию фильтра ; 4) Вычисляется обратное ДПФ от результата шага 3; 5) Выделяется вещественная часть результата шага 4; 6) Результат шага 5 умножается на .

2) Фильтр Гауса низких частот. Соотношение. Свойства.

Гауссовы фильтры низких частот (ГФНЧ) для одномерного случая использовались для того, чтобы установить некоторые важные взаимосвязи между пространственной и частотной областями. В двумерном случае эти фильтры задаются формулой , где D(u,v) – расстояние от начала координат фурье - образа, который мы считаем сдвинутым в центр частотного прямоугольника с помощью описанной процедуры. σ задает ширину гауссовой кривой. – частота среза. Когда D(u,v)=, значение передаточной функции фильтра падает до 0,607 от своего максимального значения.

Билет 3

1) Двумерное преобразование дискретной функции

Двумерное дискретное преобразование Фурье – это дискретное преобразование Фурье над матрицей, которое вычисляют по формуле:

Формула дискретного двумерного преобразования Фурье

где k, i = (0, n-1), l, j = (0, m-1), то есть это есть последовательное одномерное ДПФ сначала над строками, а потом над столбцами.

Прямое

Обратное ДПФ

2) Операции отражения и трансляции

Отражение множества B обозначается Ḃ:

Трансляция множества B на z=(z₁,z₂), обозначается (B)_z:

Билет 4

1) Преобразование Фурье. Соотношение для модуля фазы и энергетического спектра.

Прямое Фурье-преобразование F(u) непрерывной функции одной переменной f(x):

Обратное Фурье-преобразование, т.е. получение f(x) по образу F(u) :

Модуль (спектр) фурье-преобразования

Фаза (фазовый спектр)

Энергетический спектр

2) Эрозия. Определение, свойства

Если один или более пикселей объекта, т.е. «единиц», находятся внутри маски, то результат операции будет равен единице Малые дыры или щели будут заполняться, а контурная линия будет становиться более гладкой, в противном случае он равен нулю, следовательно, объект будет расширяться (удаленные (эрозия) и добавленные (преобразование подобия) пиксели). Эрозия объекта может также выполняться с использованием бинарной свертки с операциями логического И. Операция эрозии полезна для удаления малых объектов. Однако она имеет недостаток - все остающиеся объекты уменьшаются в размере.

Билет 5