Практичне заняття 2. Біноміальний розподіл. Показники надійності об’єктів, які не підлягають ремонту

Якщо виконується незалежних дослідів за однакових умов, причому в кожному з них з ймовірністю може з’явитися подія , то ймовірність того, що подія відбудеться в цих дослідах рівно разів знаходиться за формулою

, (2.1)

де – число комбінацій з по .

Ймовірність хоча б однієї появи події при незалежних дослідах можна визначити за формулою

, (2.2)

де .

Задача 5. Прилад складається з 10 вузлів. Відомо, що вузли виходять з ладу незалежно між собою. Ймовірність відмови за час складає . Знайти ймовірність того, що відмовить хоча б один вузол; рівно один вузол; рівно два вузли; не менше двох вузлів.

Розв’язок. Використовуючи вираз (2.2) для першого питання задачі можемо записати

,

У випадку коли відмовить один або два вузли з (2.1) визначимо шукану ймовірність

;

.

Ймовірність того, що відмовить не менше двох вузлів приладу можна знайти як різницю ймовірностей того, що відмовить хоча б один вузол та рівно один вузол:

Задача 6. При облаштуванні нової квартири у освітлювальну мережу було ввімкнено нових електричних лампочок. Відомо, що протягом року лампочка виходить з ладу з ймовірністю . Визначити ймовірність того, що протягом року не менше половини лампочок необхідно буде замінити новими.

Розв’язок. Нехай подія це те, що половину або більше електричних лампочок необхідно замінити новими. Тоді визначає те, що протягом року вийшло з ладу менше половини лампочок. Використовуючи (2.1) можемо записати

Шукану ймовірність знаходимо як

.

Відповідь. .

Показники надійності об’єктів, які не підлягають ремонту

Показники надійності об’єктів, які вважаються не ремонтованими є характеристиками випадкової величини напрацювання об’єкту від початку експлуатації до відмови. Ця величина має розмірність часу і вимірюється у годинах.

Основні показники надійності.

1. Ймовірність відмови об’єкту визначається як

де даний час експлуатації приладу; напрацювання приладу до відмови (вказується зазвичай у технічному паспорті на прилад).

2. Ймовірність безвідмовної роботи

.

3. Щільність функції розподілу відмов

[1/год].

4. Інтенсивність відмов (небезпека відмови)

.

Цей показник є основним параметром надійності для об’єктів, які вважаються не ремонтованими.

5. Ймовірність безвідмовної роботи за час експлуатації об’єкту

.

Для більшості електронних компонентів ймовірність безвідмовної роботи носить експоненціальний характер:

, (2.3)

за яким можна визначити, що

(2.4)

Задача 7. Яка ймовірність безвідмовної роботи електронного приладу за час, який дорівнює напрацюванню цього приладу на відмову.

Розв’язок. Час експлуатації приладу за умовами задачі дорівнює напрацюванню цього приладу до відмови, тобто :

,

враховуючи (2.4) знайдемо

Відповідь.

Задача 8. Знайти ймовірність безвідмовної роботи пристрою за час функціонування 500 год, якщо відомо, що цей пристрій складається з 50 рівнонадійних інтегральних схем, кожна з яких в свою чергу характеризується інтенсивністю відмови 0,2∙10^-6 1/год. ЗА налізу роботи пристрою відомо, що відмова пристрою відбувається тоді коли відмовить хоча б одна інтегральна схема.

Розв’язок. З умов задачі випливає, що інтегральні схеми, які складають пристрій з’єднані послідовно. Тоді ймовірність безвідмовної роботи приладу, який складається з 50 схем можна знайти як

,

де ймовірність безвідмовної роботи інтегральної схеми пристрою. Вважаючи, що закон за яким змінюється ймовірність безвідмовної роботи є експоненціальним знайдемо, що:

тобто

,

де при такому з’єднанні інтегральних схем. З умови задачі відомо, що усі інтегральні схеми, які складають основу пристрою характеризуються однаковою надійністю, тоді і

З умови задачі ; 0,2∙10^-6 1/год; 500 год. Остаточно отримаємо

Відповідь.

Задача 9. Враховуючи дані попередньої задачі знайти ймовірність безвідмовної роботи пристрою для випадку, коли інтегральні схеми з’єднано паралельно.

Розв’язок. З умови задачі відмова пристрою відбудеться лише тоді коли відмовлять усі інтегральні схеми, які складають основу пристрою. Звідси ймовірність відмови пристрою можна визначити як

тоді

,

враховуючи (2.3) знайдемо

оскільки усі інтегральні схеми з однаковим рівнем надійності, то

Відповідь.

Задача 10. Якою повинна бути інтенсивність відмови інтегральної схеми, якщо прилад, який складається з 200 таких мікросхем повинен мати ймовірність відмови за 24 години роботи не гірше аніж 10^-3 ? Відмова приладу відбудеться, якщо відмовить хоча б одна інтегральна схема, що входить до його складу.

Розв’язок. З умови задачі випливає, що інтегральні схеми приладу з’єднано послідовно, тоді

де 200. Ймовірність відмови, враховуючи (2.3), можна знайти як

звідси інтенсивність відмови інтегральної схеми

1/год.

Відповідь. 1/год.

Задача 11. Розрахувати величину напрацювання пристрою на відмову, який має у своєму складі 40 послідовних інтегральних схем з інтенсивністю відмови 5∙10^-6 1/год.

Розв’язок. Оскільки інтегральні схеми з’єднано послідовно, то . З іншого боку з (2.4) Підставивши числові дані отримаємо

год.

Відповідь. 5000 год.

Задача 12. Радіоприймач за 5000 годин роботи 4 рази перебував на ремонті. Час, який був затрачений на ремонт склав 1; 1,5; 2 та 0,5 години. Знайти коефіцієнт готовності цього пристрою.

Розв’язок. Коефіцієнт готовності будь-якого електронного пристрою можна визначити за наступним співвідношенням:

.

За умовою задачі 5000 год; год. Тоді

0,99.

Відповідь.

Задача 13. Як необхідно змінити інтенсивність відновлення апаратури , якщо з тих або інших причин інтенсивність відмови цієї апаратури зросла з 10^-7 до 0,5∙10^-6.

Розв’язок. Коефіцієнт готовності апаратури пов’язаний з інтенсивністю відновлення через співвідношення

.

За умовами задачі 10^-7 1/год; 0,5∙10^-6 1/год і треба знайти відношення . Вважаємо, що зміна інтенсивності відмови не впливає на значення коефіцієнта готовності апаратури. І тоді є справедливим рівність

,

звідси

раз.

Відповідь. У 5 разів.

Задача 14. У скільки разів треба підвищити інтенсивність відновлення електронного приладу аби підтримувати без зниження коефіцієнт готовності на рівні 0,95. Відомо, що 10^-6 1/год; 3∙10^-5 1/год.

Розв’язок. Враховуючи незмінність коефіцієнта готовності апаратури можна знайти, що

раз.

Відповідь. У 30,3 рази треба підвищити інтенсивність відновлення апаратури.