ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Неопределенный интеграл

Пусть определена и дифференцируема на множестве , т.е. мы знаем, как найти производную этой функции. Например, известен закон движения материальной точки , то путем дифференцирования мы можем найти и .

1.1. Понятие первообразной функции

Пусть определена на .

Определение: Функция называется первообразной функцией для функции , если .

Пример.

1) - первообразная для , т.к. .

2) - тоже первообразная для , т.к. .

Таким образом, первообразная определяется не однозначно.

Теорема: Если функция является первообразной для , то функция , где – постоянная, также является первообразной для .

Обратно: Если - первообразная для , то любая другая первообразная для имеет вид

Доказательство:

1) Пусть первообразная для , это значит . Требуется доказать, что – первообразная. Продифференцируем функцию. . Это означает, что - тоже первообразная для .

2) Пусть - первообразная для и - другая первообразная для . По определению первообразной это означает, что:

, но тогда эти функции могут отличаться лишь на , т.е. . Теорема доказана.

1.2. Понятие неопределенного интеграла и его свойства

Определение: Неопределенным интегралом функции называется совокупность всех ее первообразных, т.е. . Обозначается .

Процесс отыскания первообразной функции называется интегрированием данной функции.

Примеры: 1. ; 2. ; 3. .

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная, от неопределенного интеграла, равна подынтегральной функции: .

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению .

3. Интеграл от дифференциала какой-либо функции равен этой функции плюс постоянная: .

Пример. 1) ; 2) .

Определение: Функция, неопределенный интеграл которой существует, называется интегрируемой.

Теорема: (достаточное условие существования неопределенного интеграла). Если функция непрерывна в промежутке х, то она интегрируема в этом промежутке.

1.3. Правила и формулы интегрирования Правила:

1. Множитель можно выносить за знак интеграла .

2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов этих функций .

3. Если интегрируется по t, то и первообразная записывается по t .

4. .

Доказательство.

Случаи: ;

.

Примеры:

1. ; 2. ;

3. .

Таблица интегралов

№/п	Формула	№/п	Формула
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20
21
22

Таблица дифференциалов

№/п	Формула	№/п	Формула
1		12
2		13
3		14
4		15
5		16
6		17
7		18
8		19
9		20
10		21
11		22

Примеры.

Вычислить:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) .

2. Замена переменной в неопределенном интеграле

Пусть требуется найти интеграл, и мы не можем воспользоваться формулами непосредственно. Делаем замену , где - непрерывна, дифференцируема, тогда:

.

Алгоритм интегрирования методом замены переменной.

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.

Примеры:

1)

.

2)

3) .