8. 9. Интегрирование «по частям» в определенном интеграле

Пусть и непрерывные на отрезке функции имеющие непрерывные производные . По правилу дифференцирования произведения двух функций: Проинтегрируем это равенство на : . По формуле Ньютона-Лейбница: т.к.

Откуда получаем формулу:

Пример.

.

9. Приложения определенного интеграла 1. Определенный интеграл – есть площадь криволинейной трапеции, образованная осью , прямыми , где .

Е

сли функция находится под осью то Тогда

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченную отрезком

.

1. Выведем формулу для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции.

П

усть криволинейная трапеция ограничена функцией вращается вокруг оси х. Требуется вычислить объем тела вращения. Вообразим себе все тело разбитым на большое число частей плоскостями, перпендикулярными

Тогда, объем каждой части будет складываться из объема тела, образованного вращением прямоугольника с основанием и высотой у и объема тела, образованного вращением криволинейного треугольника, расположенного над прямоугольником (заштриховано серым). При большом разбиении тела плоскостями объем тела, получающегося от вращения треугольника, есть бесконечно малая и ее можно отбросить.

Объем цилиндра, с радиусом у, а высотой равен

Пример. Найти объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси

Решение. Выразим

3. Аналогично, объем тела, образованного вращением вокруг оси ограниченного кривой и прямыми равен .

4. Длина дуги кривой и ее дифференциал.

1. Пусть дана кривая АВ уравнение которой где - непрерывно дифференцируемая.

Разобьем отрезок на равных частей точками: На дуге АВ получим ломаную из точек вписанную в дугу. Пусть периметр этой ломаной равен

Определение: Длиной дуги АВ называется число l, равное пределу последовательности периметров:

Определение: Кривая, имеющая длину называется спрямляемой.

Используя формулу расстояния между точками и формулу Лагранжа о среднем значении на отрезке получим:

Рассмотрим интеграл от переменного верхнего предела:

Т.к. подынтегральная функция непрерывна, то этот интеграл можно дифференцировать

Из последнего легко получается формула для дифференциала дуги или

2) Пусть кривая задана в параметрическом виде: тогда:

Примеры: 1) Вычислить длину дуги полукубической параболы от ее вершины до точки

Решение:

2) Вычислить длину одной арки циклоиды

Решение:

5. Задача о вычислении пути.

Пусть материальная точка движется прямолинейно с мгновенной скоростью Требуется найти путь, который пройдет тело за промежуток времени от до

Если скорость постоянная, то т.е. В общем случае,

Пример. Тело движется прямолинейно со скоростью м/с. Найдите а, если известно, что путь, пройденный телом за 2с. от начала движения равен 48 м.

Решение.

Ответ: