24

Министерство транспорта РФ

Федеральное агентство морского и речного транспорта

Федеральное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Государственная морская академия имени адмирала С.О. Макарова»

К а ф е д р а г е о д е з и и

Методические указания к лабораторной работе

на тему:

Определение искажений в заданной точке карты

по дисциплине "Картография"

для курсантов 3-4 курсов гидрографической специальности

Санкт-Петербург

2012

Методические указания, составленные кандидатом технических наук профессором кафедры геодезии Томсоном П.В., рассмотрены и рекомендованы к переизданию на заседании кафедры геодезии. Протокол № … от … 2012 года.

Оглавление

Цель работы 4

Основные термины и определения 5

Порядок выполнения лабораторной работы 6

1. Аналитический способ определения m, n и  7

2. Графоаналитический способ определения m, n и  10

3. Определение элементов эллипса искажений 14

4. Построение эллипса искажений 16

5. Анализ искажений в заданной точке карты 18

5.1. Анализ искажения длин 18

5.2. Анализ искажения площадей 19

5.3. Анализ искажения направлений 19

5.4. Анализ искажения углов 22

Контрольные вопросы 24

Литература 25

Цель работы  закрепить теоретические вопросы и привить практические навыки по определению характера искажений изображения поверхности Земли на карте.

Для работы необходимо иметь: анализируемую карту, транспортир (геодезический), курвиметр или циркуль-измеритель, линейку и карандаш.

Выполнение работы требует знания ряда терминов и определений основных картографических понятий.

Основные термины и определения

Карта  построенное в картографической проекции, уменьшенное, обобщенное изображение поверхности Земли или поверхности другого небесного тела, показывающее расположенные на них объекты в определенной системе условных знаков.

Картографическая проекция  отображение поверхности эллипсоида или шара на плоскости.

Уравнения картографической проекции  два уравнения, определяющие связь между координатами точек на поверхности эллипсоида или шара и соответствующих точек на карте.

Географическая сетка  сетка меридианов и параллелей на земном эллипсоиде и шаре, или на глобусе.

Картографическая сетка  изображение сетки меридианов и параллелей на карте.

Главный масштаб (длин)  отношение, показывающее во сколько раз уменьшены линейные размеры эллипсоида или шара при его изображении на карте.

Частный масштаб (длин)  отношение длины бесконечно малого отрезка на карте к длине соответствующего бесконечно малого отрезка на поверхности эллипсоида или шара.

Частный масштаб площадей (масштаб площадей)  отношение бесконечно малой площади на карте к соответствующей бесконечно малой площади на поверхности эллипсоида или шара.

Искажения в картографических проекциях (искажения)  искажения длин, площадей и углов при изображении поверхности эллипсоида или шара на карте.

Эллипс искажений  бесконечно малый эллипс (в частном случае - круг) в каждой точке на карте, являющийся изображением бесконечно малого единичного круга на поверхности эллипсоида или шара.

Главные направления  два взаимно перпендикулярных направления в каждой точке карты, по которым частные масштабы длин имеют наибольшее и наименьшее значения.

Относительный масштаб длин  отношение частного масштаба длин к главному, выраженное в долях единицы, к которой приравнивается главный масштаб.

Относительный масштаб площадей  отношение частного масштаба площадей к квадрату главного, выраженное в долях единицы, к которой приравнивается главный масштаб.

Искажение углов  разность углов между направлениями на карте и соответствующими направлениями на поверхности эллипсоида или шара.

Азимут  угол между северным направлением меридиана и любым выбранным направлением (отсчитывается по часовой стрелке от 0 до 360 градусов).

Дирекционный угол  угол между положительным направлением оси абсцисс и выбранным направлением в любой прямоугольной системе координат (отсчитывается по часовой стрелке от 0 до 360 градусов).

Порядок выполнения лабораторной работы

В ходе выполнения лабораторной работы на анализируемой карте выбирается любая точка, для которой определяются значения m, n (относительные масштабы длин соответственно по меридиану и параллели) и  (острый угол между изображениями меридиана и параллели в заданной точке карты). Далее определяются элементы эллипса искажений a, b (большая и малая полуоси) и  ' (ориентирный угол). По элементам эллипса искажений строится эллипс искажений и производится анализ характера искажений в заданной точке карты. Рекомендуется выполнять лабораторную работу в следующей последовательности:

1. Определение значений m, n и .

2. Определение элементов эллипса искажений a, b и  '.

3. Построение эллипса искажений.

4. Анализ искажения длин.

5. Анализ искажения площади.

6. Анализ искажения азимутов.

7. Анализ искажения дирекционных углов.

8. Анализ искажения углов.

1. Аналитический способ определения m, n и 

Если для анализируемой карты известны уравнения картографической проекции

x = f_x (,);

y = f_y (,),

т о, найдя частные производные функций x и y по широте  и долготе  заданной точки карты, можно вычислить значения m, n и  :

(1)

г де M, r - соответственно радиусы кривизны меридиана и параллели

в заданной точке карты;

₀ - масштаб карты.

Пример 1. Дана карта в поперечной азимутальной равновеликой проекции. Требуется найти значения m, n и для точки с координатами:

 = 60° с.ш.

и

 = 30° в.д.

У равнения этой проекции имеют вид:

Н аходим путём дифференцирования частные производные:

где R ₀ =  средний радиус главной параллели;

M_0 и N₀  соответственно радиусы кривизны меридиана и первого вертикала на широте главной параллели.

Принимая в целях упрощения ₀ = 1 и R₀ = 1, для заданной точки с координатами = 60° с.ш. и  = 30° в.д. получаем:

= + 0,85842 ; = - 0,43427 ;

= + 0,08924 ; = + 0,53732 .

С учетом этих значений вычисляем:

m = 0,96283 ,

n = 1,08844 ,

 = - 72° 35,8'.

Знак " - " у  показывает, что острый угол  лежит к западу от северного направления истинного меридиана. В дальнейших расчётах угол  необходимо брать по абсолютной величине.

В рассматриваемом случае контролем вычислений m, n и  служит равенство произведения p = mn sin единице, так как проекция является равновеликой. В равновеликих проекциях для любой точки карты относительный масштаб площадей p должен быть равен единице. В данном примере

p = mn sin  = 0,962831,088440,95422 = 1,00001 ,

то есть изображение в данной точке анализируемой карты действительно является равновеликим.

Пример 2. Дана карта в равновеликой псевдоконической проекции (проекция Бонна). Требуется найти значения m, n и  для точки с координатами  = 10° с.ш. и  = 80° в.д. при значении широты средней параллели _= 30° с.ш. Уравнения этой проекции имеют вид:

x = ₀R₀[ cos (/) - ( - ) cos  ] ;

y = _ R₀ ( -  ) sin  ,

где

 = ₀ + ctg _ ;

 =  cos  : (  -  ) .

Находим путём дифференцирования частные производные:

Принимая _ = 1 и R₀ = 1, для заданной точки с координатами  = 10° с.ш. и  = 80° в.д. получаем

= +1,04623 , = 0,28345 ,

= +0,60437 , = +0,77755 .

С учетом этих значений вычисляем

m = 1,08395 ,

n = 1,00000,

 = + 67° 18,1'.

Знак " + " у  показывает, что острый угол  лежит к востоку от северного направления истинного меридиана.

Как и в первом случае, контролем вычислений m, n и  служит равенство произведения p = 2mnsin единице, так как проекция является равновеликой. В данном примере

p = mnsin = 1,083951,000000,92255 = 1,00000 ,

т. е. площадь в исследуемой точке не искажается.