- •Введение
- •1. Парная регрессия и корреляция
- •1.1. Методические указания
- •1.2. Решение типовых задач
- •1.3. Решение с помощью ппп Excel
- •1.5. Контрольные вопросы
- •2. Множественная регрессия и корреляция
- •2.1. Методические указания
- •2.2. Решение типовых задач
- •2.3. Решение с помощью ппп Excel
- •2.4. Контрольные задания
- •Контрольные вопросы
- •3. Временные ряды в экономических исследованиях
- •3.1. Методические указания
- •3.2. Решение типовых задач
- •3.3. Решение с помощью ппп Excel
- •3.4. Контрольные задания
- •Контрольные задания
- •4. Система экономических уравнений
- •4.1. Методические указания
- •4.2. Решение типовой задачи
- •4.3. Контрольные задания
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
3.2. Решение типовых задач
Задача 3.1. Имеются данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Год |
ІСвартал |
t |
ІСоличество возбужденных дел, yt |
2002 |
I |
1 |
375 |
II |
2 |
371 |
|
III |
3 |
869 |
|
IV |
4 |
1015 |
|
2003 |
I |
5 |
357 |
II |
6 |
471 |
|
III |
7 |
992 |
|
IV |
8 |
1020 |
|
2004 |
I |
9 |
390 |
II |
10 |
355 |
|
III |
11 |
992 |
|
IV |
12 |
905 |
|
2005 |
I |
13 |
461 |
II |
14 |
454 |
|
III |
15 |
920 |
|
IV |
16 |
927 |
Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, так как количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Необходимо рассчитать компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проводится выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней (табл. 3.2). Для этого:
Суммируются уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени.
Разделив полученные суммы на 4, находятся скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
Необходимо привести эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего находятся средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние.
Шаг 2. Находятся оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Эти оценки используются для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого находятся средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю (табл. 3.3).
Таблица 3.3
Показатели |
Год |
№ квартала, i |
|||
I |
II |
III |
IV |
||
2002 |
- |
- |
213,75 |
349,5 |
|
2003 |
-336,75 |
-238,375 |
277,875 |
316,25 |
|
2004 |
-299,25 |
-319,875 |
322,625 |
214,375 |
|
2005 |
-233 |
-233,75 |
- |
- |
|
Всего за i-й квартал |
|
-869 |
-792 |
814,25 |
880,125 |
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала, Si |
|
-289,667 |
-264 |
271,417 |
293,375 |
Скорректированная сезонная компонента, Si |
|
-292,448 |
-266,781 |
268,636 |
290,593 |
Для данной модели имеем:
-289,667 - 264 + 271,417 + 293,375 = 11,125.
Корректирующий коэффициент k = 11,125/4 = 2,781. Расчет скорректированных значений сезонной компоненты
(S = S - k ).
Проверка равенства нулю суммы значений сезонной компоненты: -292,448 - 266,781 + 268,636 + 290,593 = 0.
Шаг 3. Исключается влияние сезонной компоненты, путем вычитания ее значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаются величины T + E = Y—S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту (табл. 3.4).
Шаг 4. Определение компоненты T данной модели. Для этого проводится аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
T = 671,777 + 0,9233*.
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12 13 14 15 16
Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, 16, находятся уровни T для каждого момента времени.
Шаг 5. Находятся значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого к уровням T прибавляются значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.
Для оценки качества построенной модели применяется сумма квадратов полученных абсолютных ошибок.
R2 = 1 = 1 - 37911,973 = 0,970.
(yt - у)2 1252743,75
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за четыре года.
Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I-й и II-й кварталы 2006 года. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
T = 671,777 + 0,9233t.
Получим
T17 = 671,777 + 0,9233-17 = 687,473;
T18 = 671,777 + 0,9233-18 = 688,396.
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: S1 =-292,448 и S2 =-266,781. Таким образом,
F17 = T17 + S1 = 687,473 - 292,448 = 395;
F18 = T18 + S2 = 688,396 - 266,781 = 422.
То есть в первые два квартала 2006 года следует ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.
Задача 3.2. На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приведены в табл. 3.5.
Таблица 3.5
Месяц |
Скорректированные значения сезонной компоненты |
Месяц |
Скорректированные значения сезонной компоненты |
Январь |
-1,0 |
Июль |
3,0 |
Февраль |
2,0 |
Август |
1,0 |
Март |
-0,5 |
Сентябрь |
2,5 |
Апрель |
0,3 |
Октябрь |
1,0 |
Май |
-2,0 |
Ноябрь |
-3,0 |
Июнь |
-1,1 |
Декабрь |
|
Уравнение тренда выглядит следующим образом:
y t = 2,5 + 0,03t.
При расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени (t от 1 до 36 месяцев).
Требуется:
- определить значение сезонной компоненты за декабрь;
- на основе постоянной модели дать прогноз, заключенных в течение 1-го квартала следующего года.
Решение.
Сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла должна быть равна 0 (в соответствии с методикой построения аддитивной модели временного ряда). Следовательно, значение сезонной компоненты за декабрь составит:
S12 = 0 - (-1 + 2 - 0,5 + 0,3 - 2 - 1,1+3 + 1 + 2,5 + 1 - 3) = - 2,2.
Прогнозное значение уровня временного ряда Ft в аддитивной модели есть сумма трендового значения Tt и соответствующего значения сезонной компоненты St.
Число браков, заключенных в I-м квартале следующего года, есть сумма числа браков, заключенных в январе F37, феврале F38 и марте F.
Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, указанным в условии задачи:
y t = 2,5 + 0,031; T37 = 2,5 + 0,03 • 37 = 3,61; T38 = 2,5 + 0,03 • 38 = 3,64; T39 = 2,5 + 0,03 • 39 = 3,67.
Соответствующие значения сезонных компонент составят:
51 = -1 (январь)
52 = 2 (февраль)
53 = -0,5 (март)
Таким образом,
F37 = T37 + S1 = 3,61 -1,0 = 2,61; F38 = T38 + S2 = 3,64 + 2,0 = 5,64; F39 = T39 + S3 = 3,67 - 0,5 = 3,17.
Количество браков, заключенных в I-м квартале следующего года, составит:
2,61 + 5,64 + 3,17 = 11,42 тыс.