Вопросы экзаменационных билетов за 1 семестр

1. Определение предела функции. разные подходы к определению предела.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Определение

Функция   имеет предел   в точке  , предельной для области определения функции  , если для каждой окрестности предела   существует проколотая окрестность точки  , образ которой при отображении   является подмножеством заданной окрестности точки  .

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.. Определение. Связь их друг с другом.

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х₀, если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀ + 0.

Опираясь на правила вычисления пределов, можно сформулировать свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x₀, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x₀:

1.
2.
3.
4.

  Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x₀ справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀ + 0.

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x₀ (или x → x₀), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х₀ | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.   В этом случае пишут

и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х₀ , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х₀. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K) , то пишут

 или 

и говорят, что функция имеет в точке х₀ бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞).

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями

   Если f (x) — бесконечно большая функция, то   есть бесконечно малая функция в этой же точке.    В самом деле, пусть  , это означает, что

(  K > 0) (  δ = δ(K)> 0) (  0 < | x - x₀ | < δ ) : | f (x) | > K .

   Так как |f (x)| > K , то  .  Будем считать, что  , тогда

(  ε > 0) (  δ = δ(ε)> 0) (  0 < | x - x₀ | < δ ) : 1/| f (x)| <ε .

Это означает, что  .

3. Свойства функций, имеющих пределы.

Рассмотрим некоторые свойства предела на бесконечности. В ряде случаев доказательства почти дословно повторяют доказательства аналогичных

свойств предела последовательности и мы их не приводим.

Теорема 1. Если функция имеет предел при х , то только один.

Теорема 2. Если функция имеет предел при x , то она ограничена на некотором открытом луче (М, + ).

Теорема 3 (о предельном -переходе в неравенствах). Если     и на некотором луче (а, + ) выполняется неравенство f(х)<g (х), то b<c.

Следствие. Если f(х)>0  (f(х)<0)  на некотором луче (а, + ) и   существует, то он неотрицателен (неположителен).

Теорема 4 (о пределе промежуточной функции). Если    и на некотором луче (0, + ) справедливо двоичное неравенство ),   то и  .

Теорема 5. Пусть  . Тогда:

1)      =b+c;

2)     =bc.                      ^/

Перечислим свойства предела функции в точке. Их доказательств мы не

приводим, поскольку они по структуре и идеям практически те же, что доказательства теорем 1—5 ; их легко воспроизвести самостоятельно.

Теорема 6. Если функция имеет предел при х а, то только один.

Теорема 7. Если функция имеет предел при х а, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Теорема 8 (о предельном переходе в неравенствах). Если     и в некоторой проколотой окрестности точки а выполняется неравенствоf(x)<g(x). то b<c.

Следствие. Если f{х)>0 (f(х)<0) в некоторой проколотой окрестности точки а и   существует, то он неотрицателен (неположителен).

Теорема 9 (о пределе промежуточной функции). Если     и в некоторой проколотой окрестности точки а справедливо неравенство g(х)<f(х)<h(х), то и 

Теорема 10. Пусть  . Тогда:

                     1)  +с;

                     2)  ;

                     3)  ,(если  ).

4. Теорема о сжатой функции. Пределы монотонных функций.

.

Если  , то   возрастает, пишут  .

Если  , то   убывает, пишут  .

Класс функций   и   — класс монотонных функций.

5. Непрерывность функции.

функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции можно начертить «не отрывая карандаш от бумаги».

Определения [править]ε-δ определение

Пусть   и  .

Функция f непрерывна в точке  , если для любого   существует δ > 0 такое, что для любого

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция f класса C⁰ и пишут:   или, подробнее,  .

[Править]Комментарии

• Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения.

• Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке x₀,предельной для множества E, если f имеет предел в точке x₀, и этот предел совпадает со значением функции f(x₀).

• Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

6. Свойства функций, непрерывных в точке.