Теорема Ферма

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на интервале (a, b) и в некоторой точке x₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда f'(x₀) = 0.    Доказательство. Пусть для определенности функция f (x) в точке x₀ имеет наибольшее значение, т.е. f (x) ≤ f (x₀) для любого x  (a, b). Это значит, что Δ y= f(x₀ + Δx) - f(x₀) ≤ 0 для любого приращения аргумента Δ x и x₀ + Δ x  (a, b).    Если Δx > 0, имеем

,

если же Δx < 0, то

.

По условию f ' (x₀) существует и, значит,

.

Это возможно только в случае, когда

.

   Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что, если в точке x₀ дифференцируемая функция f(x) имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке (x₀; f (x₀)) касательная к графику функции f (x) параллельна оси Ox.    Замечание. Теорема неверна, если функцию f (x) рассматривать на замкнутом отрезке [a, b]. Например, функция f (x) = x на отрезке [0; 1] в точке x = 0 принимает наименьшее, а в точке x = 1 — наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.

Теорема Ролля

   Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c  (a, b), в которой f ' (c) = 0.    Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.    Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана.    Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

   Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f(a) = f(b) равные значения, существует точка (c; f(c)), в которой касательная параллельна оси Оx.

Теорема Лагранжа

   Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с  (a, b), что выполняется равенство

f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение  хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))

y = f(a) + Q·(x - a),

где   есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

.

И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

   Величина   является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M₁ (a; f(a)) и M₂(b; f (b)) графика функции у = f(x), a f ' (c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (c; f (c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка "c" такая, что касательная к графику в точке (c; f(c)) параллельна секущей M₁M₂. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.    Замечание. Формула Лагранжа по структуре похожа на формулу линеаризации

f (x) − f (x₀) ≈ f '(x₀)·(x −x₀).

Отличие только лишь в выборе точки для подсчета значения производной и в знаке равенства.