1 Матрицы, операции над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица

Матрицей m × n называется прямоугольный массив чисел, состоящий из m строк и n столбцов. Количество строк и столбцов определяет размер матрицы

Матрицы допускают следующие алгебраические операции:сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n строк);

умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. е. скаляр).

Свойства умножения матриц на число1. 1*A = A;2. (Λβ)A = Λ(βA)3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Ранг матрицы

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

2 Системы линейных уравнений . Методы решении

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

3 Основная задача лп каноническая форма. Примеры

Общей задачей линейного программирования называют задачу

(1)при ограничениях

(3)

(4) (5) - произвольные (6)где - заданные действительные числа; (1) – целевая функция; (1) – (6) – ограничения; – план задачи.

Если свободные переменные приравнять нулю, а базисные переменные при этом примут неотрицательные значения, то полученное частное решение системы (8) называют опорным решением (планом).Канонической (или основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (8) при выполнении условий (10) и (11), где k = 0 и l = п.

Каноническая форма задачи линейного программирования

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися.

В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической.

Она может быть представлена в координатной, векторной и матричной записи.

Каноническая задача линейного программирования в координатной записи имеет вид: