1. Конечный предел числовой последовательности

а- lim {xn} еcли для любого Ԑ>0 найдется натуральн число N что при всех n>N вып нер lx_n –al<Ԑ 

для того чтобы последовательность х _n, n=1, 2, . . ., имела предел, необход и дост, чтобы для любого Ԑ>0 Ǝ N, что для всех N≤n b N≤m выполнялось нер

2 Критерий сходимости монотонной последовательноти

Для того что бы x_n cходилось необх и дост что б ее верхн и нижн lim совпадали

3 бмп ббп

Бмп – числовая последоват lim = 0

1⁰ cумма 2-х бмп - беск посл 2⁰ произв бмп на огр посл = бесконечн велич (любая бмп ограничена)

Ббп -   

 связь:если { х_n} — ббп и все ее члены отличны от нуля, то последовательность {1 / x_n} бесконечно малая, и, обратно, если {α_n} — бмп и все её члены отличны от нуля {α_n} ≠ 0, то последовательность { 1 / α_n } – бесконечно большая.

4 Теоремы о пределах суммы, произведения, частного сходящихся последоват

Произведение 2-х сходящ последоват – сходящ послед lim= произвед пределов послед {x_n}{y_n}

y_n ≠ 0

5 Теоремы о пределах последоват связан неравенств

Если x_n ≤ y_n и , , то x ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍≤ y. 

6 Число е

е- непреново число ≈ 2,72 оно принято за основание натуральных логор‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

7 конечный lim ф-ции действительно перемен при х⟶а. Бесконечн больш ф-ции при х⟶а. Одно‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍стор lim

Гейне:   а - lim значений f(x) в x₀ если для V последовательностей точек x_n , nϵN имеющи своим lim х₀( = x₀)

Последовательность значений ф-ции имеет lim в a ( . Говорят f(x) при x⟶x₀ имеет своим пределом а( =a) необходимое условие сущ – ф-ция имеет конечный предел в данной точке х₀

Коши : ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍а-lim f(x), хϵХ при х⟶х­₀, если для V напередзад. числа Ԑ и δ > 0 как только хϵU(x₀δ) так сразу f(x)ϵU(a Ԑ)

ɄԐ>0 δ>0 lx-x₀l < f(x)=U(x₀,δ)

l(f(x)-al ‍<Ԑ=f(x)≤U(a,Ԑ)

ббф если для V M>0 Ǝδ=δ(M)>0 что для V x удв нерав 0<lx-x₀l<δ вып нерав lf(x)l>M (lim f(x)=∞)

Одностор преде́л — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к пред точке с одной стороны

А₁ lim ф-уции слева(справа)в х₀если для VԐ>0 Ǝδ=δ(Ԑ)>0 при хϵ(х₀-Ԑ;х₀) вып нерав l f(x) – A₁ l <Ԑ

(x₀;x₀+δ) для справа

8 Основные теоремы о пределах ф-ций

Lim(f(x) ±λ(x))= lim f(x) ± lim λ(x) Lim(f(x)*lim(λ(x)) = limf(x)*limλ(x) lim c*f(x)=c*lim f(x)

Lim(f(x))ⁿ=(limf(x))ⁿ lim =

9 Замечательные пределы

1) =1 2) ^x=e lim(1+a)^1/a=e(x⟶a)

10 Сравнение ф-ции. О и о. Эквиваленты бмф и с-ва

f(x)=λ(x)*g(x) f(x) 1. Ограниченая относительно ф-циии g(x) в U(х₀) если λ(х) ограничена. Если λ(х) огрвып нер: lλ(x)l C(const) C>0 хϵX U(x₀) =>lf(x)l C*lg(x)l если f(x) огр относит g(x) в U(х₀) тозаписывают f(x)=O(g(x)) при х⟶х₀ 2.того же порядка что и g(x) в U(х₀) если Ǝ С₁ и С₂>0 что для хϵХ U(х₀) вып нер С_{2 l}λ(х)l С₁ в этом случае для Х U(х₀) будет вып С₂lg(x) _lf(x)l C₂lg(x)l в этом случает f(x)=O(g(x)) x⟶x₀ и одноврем g(x)=O(f(x)) ф-ции f и g одного порядка 3.бмф относит g(x) для х U(х₀) если λ(х)беск мал для Х U(х₀) 4. Эквивалентная ф-ция ф-ции g(x) для хϵХ U(х₀) если lim λ(x)=1(х⟶х_‍0‍)   если ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍lim a/b =1 (x⟶0) наз эквивалентными беск мал 1⁰ lim отноше 2-х бмф не изменится если каждую или одну заменить эквивалентн ей беск мал 2⁰разность 2-х эквивал бмф –беск малая более выс порядка чем каждая из них 3⁰сумма конечного числа бмф разных порядков эквивал слагаемому низшего порядка .что бы ф-ция была ~ необх и дост f(x)=g(x)+o(g(x)) sinx~tgx~arsinx~arctgx~e^x-1~a^x-1~ln(1+x)~x 1-cosx~x²/2;log_a(1+x)~xlog_ae;(1+x)^k-1~kx,k>0; -1~x/2 O.o - Символы бесконечно малых - "б. м. порядка не ниже относительно

11 ф-ции действ переменного непрер в точке их св-ва. Непрер элем ф-ций

действительного переменного — ф-ция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.( разложение функции в бесконечную сумму степенных функций)     ф-ция f(x) непрерыв в x₀ если Ǝlim в этой точке и = знач ф-ции в этой точке lim f(x)=f(x₀) x⟶x₀

• Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .

• Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .

• Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .

Непрерывность элем ф-ций Т1( ±,* 2-х непрер ф-ций = ф-ция непрерывная) Т2(пусть ф-ции u= непрер в х0, а у=f(u) непрер в u0= тогда сложная ф-ция а( сост из непрерыв ф-ций, непрер в х0) Т3(если ф-ция y=f(x) непрер и строго монотонна на [a;b] оси Ох то обр ф-ция y= так ж непрер и монотонн на соответств отрезке [c;d] оси Оу) () всякая элементарн ф-ция непрер в каждой точке в которой она определена