Наращение по простой учетной ставке.

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае равна: . Множитель наращения равен . Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке. Заметим, что при расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа больше нуля.

При наращении по простой процентной ставке капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину . При наращении по простой учетной ставке капитал также увеличивается, но не на постоянную величину. Простая учетная ставка дает более быстрый рост наращенной суммы, чем такая же по величине процентная ставка .

Рисунок 3 - Наращение по схеме простых процентов по процентной и учетной ставкам

Эквивалентность учетной и процентной ставок в схеме простых процентов.

Ставки и , обеспечивающие через время получение одной и той же наращенной суммы из величины , называются эквивалентными.

Известно, что . Отсюда справедливы равенства: и .

Пример 12: Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 32% при наращении капитала за 2 года.

Решение: Воспользуемся формулой , или

Годовая учетная ставка.

Годовой учетной ставкой называют проценты за кредит, выплачиваемый в момент заключения договора сроком на 1 год:

.

Эффективной ставкой дисконта называют величину .

Выражая через получим: , .

Таким образом, — наращенное за 1 год значение , a — простые проценты по ставке , уплачиваемые вперед.

Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

Срок в годах:

Заметим, что для определения срока в днях , а значит .

Пример 13: Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых ( )?

Решение: дня.

Величина процентной ставки:

;

.

Сравнение математического и банковского дисконтирования для схемы простых процентов.

Если процентная и учетная ставки дисконтирования равны по величине, то методы наращения и дисконтирования по схеме простых процентов не дают одинаковый результат.

Сравним и между собой при . При сроке (лет) дисконтный множитель по простой процентной ставке больше дисконтного множителя по простой учетной ставке , поэтому . Графиком является прямая, а графиком - гипербола. Заметим, что математическое дисконтирование выгоднее для векселедержателя, а банковское – для банка.

Рисунок 4 – Математическое и банковское дисконтирование

Сложные проценты Наращение по сложным процентным ставкам

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

• проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

• срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

– за один период начисления;

– за два периода начисления;

отсюда, за периодов начисления формула примет вид:

- формула процентов, т.е. - множитель наращения;

где – наращенная сумма долга;

– первоначальная сумма долга;

– ставка процентов в периоде начисления;

– количество периодов начисления;

– коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен , а знаменатель – . Последний член геометрической прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Рисунок 5 – Наращение по сложным процентам

Коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы (см. приложение B). Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через периодов при заданной процентной ставке .

При выводе формулы предполагалось, что измеряется в годах, а является годовой процентной ставкой. Однако эту формулу можно применять и для других периодов начисления – для месяцев, полугодий, дней и т. д. При этом нужно обязательно следить, чтобы длина периода и процентная ставка имели временное соответствие.

• Если срок контракта равен месяцев, а - годовая процентная ставка, то в формуле наращенной суммы величину нужно выразить как - часть года, тогда наращенная сумма по сложной процентной ставке составит:

• Если срок контракта равен дней, то в формуле наращенной суммы - часть года, тогда наращенная сумма по сложной процентной ставке составит: .

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как .

Пример 14: Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.

Решение: Применяя формулу , получим:

руб.

Пример 15: На банковский счет положены 200000 на 3 месяца по ставке 36% в год. Найти наращенную сумму по сложным процентам.

Решение: Воспользуемся формулой . Помучаем: руб.

Пример 16: Сумма 10000 рублей положена на банковский счет сроком на 73 дня по ставке 10% в год. Найти наращенную сумму по сложным процентам.

Решение: Применяя формулу получим: руб.

Пример 17. Сумма в размере 2000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение: Наращенная сумма долларов

или долларов,

где (приложение B).

Сумма начисленных процентов долларов. Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2420 долларов, из которой 2000 долларов составляет долг, а 420 долларов – "цена долга".