- •Введение
- •Лабораторная работа № 1 Первичная обработка статистических данных
- •Основные теоретические сведения
- •1 Выборочный метод
- •2 Сгруппированный и интервальный статистические ряды
- •3 Эмпирическая функция распределения
- •4 Оценки числовых характеристик
- •Контрольные вопросы
- •2 Схема построения доверительных интервалов
- •3 Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии случайной величины, имеющей нормальное распределение
- •Лабораторная работа № 3
- •2 Основные понятия статистической проверки гипотез
- •3 Применение критерия Пирсона 2 для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины
- •4 Алгоритм применения критерия 2 для проверки гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины
- •2 Проверка гипотез о математическом ожидании случайной величины, имеющей нормальное распределение
- •3 Проверка гипотез равенства двух случайных величин, имеющих нормальное распределение
- •Лабораторная работа № 5 Построение регрессионной модели системы двух случайных величин
- •1 Введение
- •2 Регрессионный анализ
- •3 Метод наименьших квадратов
- •4 Пошаговый регрессионный анализ
- •5 Корреляционный анализ
- •6 Проверка значимости оценок коэффициентов корреляции и детерминации
- •Приложение а (справочное) Работа с пакетом statgraphics Plus for Windows
- •1 Запуск пакета statgraphics Plus
- •2 Создание файла выборок значений исследуемых величин
- •3 Использование существующего файла данных
- •4 Вычисление оценок числовых характеристик и построение гистограммы (столбцовой диаграммы) исследуемой случайной величины
- •5 Печать результатов статистического анализа
- •6 Определение доверительного интервала для математического ожидания и среднеквадратического отклонения случайной величины
- •7 Проверка гипотезы о значении математического ожидания случайной величины
- •8 Проверка гипотезы о значении математического ожидания случайной величины
- •9 Проверка непараметрической гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины
- •10 Построение диаграммы рассеяния
- •11 Регрессионный и корреляционный анализ
- •Приложение б (справочное) Критические точки распределения Стьюдента
- •Приложение в (справочное) Критические точки распределения 2
- •Приложение г (справочное) Таблица значений функции Лапласа
- •Приложение д (справочное) Критические точки распределения Фишера
- •Приложение ж (справочное) Критические точки стандартного нормального распределения
- •Приложение и (информационное) Рабочая программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •1 Цели и задачи дисциплины, её место в учебном процессе
- •1.1 Цель преподавания дисциплины
- •1.2 Задачи изучения дисциплины
- •2.1.2 Одномерные случайные величины
- •2.1.3 Многомерные случайные величины
- •2.1.4 Основные понятия математической статистики
- •3 Учебно-методические материалы
- •Список принятых условных обозначений
- •Список литературы
- •Содержание
2 Схема построения доверительных интервалов
Методика построения доверительных интервалов для параметра распределения вероятностей:
1) из генеральной совокупности значений случайной величины X, имеющей функцию распределения F(x, ), извлекается выборка объема n;
2) по результатам выборки находится точечная оценка параметра распределения вероятностей;
3) составляется вспомогательная случайная величина , закон распределения вероятностей которой известен;
4) задается доверительная вероятность ;
5) используя плотность распределения вероятностей случайной величины Z, находят такие два числа Z1 и Z2 (рисунок 1), что
; (1)
; ;
6) как только Z1 и Z2 найдены, двойное неравенство решается относительно и получается искомый интервал .
Рисунок 1 – Двусторонняя критическая область статистического критерия
3 Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии случайной величины, имеющей нормальное распределение
Пусть вероятностный эксперимент описывается случайной величиной X и известно, что X подчиняется нормальному закону распределения вероятностей
, ,
где – среднее квадратическое отклонение случайной величины X, причем значения a и нам неизвестны;
a – математическое ожидание.
Построим доверительный интервал для неизвестного значения a математического ожидания. Воспользуемся алгоритмом, изложенным в пункте 2:
1) извлечем выборку объема n из генеральной совокупности;
2) по выборке найдем точечные оценки параметров a и :
, ;
3) составим случайную величину
. (2)
Доказано, что случайная величина t имеет распределение Стьюдента с степенями свободы;
4) зададим доверительную вероятность ;
5) найдем t1 и t2 такие, что
, (3)
где – плотность распределения Стьюдента, график которой изображен на рисунке 2.
Рисунок 2 – Плотность распределения Стьюдента
Поскольку кривая плотности распределения Стьюдента симметрична относительно вертикальной оси, мы можем выражение (3) записать так
,
пользуясь таблицей значений t-распределения (приложение Б), найдем значение ;
6) полагая известными значения и , запишем из (3) выражение в скобках
(подставим выражение для t из (2)) =
.
Решим двойное неравенство относительно a:
. (4)
Таким образом, мы построили доверительный интервал (4) для параметра a.
Для построения интервальной оценки неизвестной дисперсии воспользуемся тем, что случайная величина подчинена -распределению с (n – 1) степенями свободы. Поэтому
, (5)
где – – процентная точка -распределения с (n – 1) степенями свободы;
– – процентная точка -распределения с (n – 1) степенями свободы (приложение В). Разрешая неравенство (5) относительно , получим случайный доверительный интервал для неизвестного параметра
. (6)
Соответственно доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид
, (7)
и таким образом мы построили доверительный интервал для параметра .
Замечание – Если случайная величина X имеет произвольную функцию распределения , по формулам (4) и (7) можно строить приближенные доверительные интервалы соответственно для математического ожидания и среднего квадратического отклонения, если объем выборки достаточно велик, .
Пример 1 Из многочисленного коллектива работников фирмы случайным образом отобрано n = 25 работников. Средняя заработная плата этих работников составила д.е. при выборочном среднеквадратическом отклонении д.е. Требуется с доверительной вероятностью определить интервальную оценку:
а) для средней месячной заработной платы на фирме;
б) суммы затрат фирмы на заработную плату отдела, состоящего из 520 сотрудников.
Решение. 1) Среднемесячная заработная плата на фирме характеризуется генеральной средней a. Требуется найти интервальную оценку параметра a с доверительной вероятностью . Согласно (4) имеем
,
где – -процентная точка -распределения (распределения Стьюдента). По таблице (см. приложение Б) распределения Стьюдента находим . Поэтому
.
Таким образом, с вероятностью можно гарантировать, что средняя заработная плата на фирме находится в пределах: .
2) Средняя сумма затрат фирмы на заработную плату отдела из N сотрудников составит д.е. Следовательно, с вероятностью можно утверждать, что затраты фирмы на заработную плату отдела не выйдут за пределы интервала:
,
.
Пример 2 При анализе точности фасовочного автомата было проведено n = 24 контрольных взвешиваний пятисотграммовых пачек кофе. По результатам измерений рассчитано выборочное среднее квадратическое отклонение г. Требуется с доверительной вероятностью оценить точность фасовочного автомата, то есть определить интервальную оценку .
Решение. Согласно (6) интервальная оценка дисперсии
.
По таблице процентных точек -распределения (см. приложение В) найдем
;
.
Следовательно,
.
Значит с доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение среднего квадратического отклонения будет находиться в интервале
Предположив, что ошибка фасовочного автомата есть нормально распределенная случайная величина с нулевой средней и среднеквадратическим отклонением , можно с вероятностью 0,954 утверждать, что вес пачек кофе будет в пределах
.
Порядок выполнения работы
1 В лабораторной работе № 1 вы выполнили обработку статистических данных и вычислили точечную оценку среднего значения исследуемой случайной величины X и точечную оценку среднего квадратического отклонения X. Перепишите из лабораторной работы № 1 значения величин n, и .
2 Постройте вручную интервальные оценки для неизвестных истинных значений и .
3 Вычислите интервальные оценки для и на ЭВМ (приложение А, п. 6).
4 Сделайте вывод.
Контрольные вопросы
1 Что такое точечная и интервальная оценки параметров?
2 Почему возникает необходимость построения интервальной оценки параметра?
3 Что называется доверительной вероятностью?
4 Дайте определение доверительного интервала.
5 Что такое точность вычисления интервальной оценки?