Операции над нечеткими множествами Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Содержание

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если x E A(x) > B(x).

Обозначение: A  B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A  B, говорят, что B доминирует A.

Доминирует (А)	0,4	0,6	0,8	1
Содержится (В)	0,2	0,4	0,6	0,8

Равенство

A и B равны, если xE A(x) = B (x).

Дополнение

Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

xA(x) = 1 -  B(x).

Обозначение: B = или A =

*инвертируется принадлежность каждого элемента*

Объединение

Cоздается новое множество из элементов исходных множеств, причем для одинаковых элементов принадлежность берется максимальной.

A B(x) = max(A(x),  B(x)).

Пересечение

AB - создается новое множество из одинаковых элементов исходных множеств, принадлежность которых берется минимальной.

AB(x) = min( A(x), B(x)).

Разность

А - B = А с функцией принадлежности:

A-B(x) = A  (x) = min( A(x), 1 - B(x)).

новое множество состоит из одинаковых элементов исходных множеств.

Свойства операций И і З

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

• - коммутативность;

• - ассоциативность;

• - рефлексивность (идемпотентность);

• - дистрибутивность;

• - теоремы де Моргана.

ПРИМЕРЫ

	x1	x2	x3	x4
A	0,4	0,2	0	1
B	0,7	0,9	0,1	1
C	0,1	1	0,2	0,9

Здесь:

1. AB, то есть A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, то есть пари {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

2. A  B C.

3. = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;

= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

4. AB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

5. АС = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

6. А - С = А = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

В - А =  С = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

7. А  В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Нечеткие числа Нечетким числом называется произвольное нечеткое подмножество а , заданное на множестве действительных чисел r,

Пример: Есть два нечетких числа а - примерно 7 и b - примерно 10.

Значения ф-ции

А
5	6	7	8
0,3	0,8	1	0,7

В
9	10	11	12
0,7	1	0,6	0,8

Их сумма – также нечеткое множество – его носитель, это комб. сумм всех чисел вход. нес. множество А и В т.е. Uа+в = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. Все здорово, но вот вопрос – как определить ф-цию принадлежности нового неч. числа по известным?

Строим таблицу в клетке – выражение Uai+bj/(ai+bj) = min (Uai, Ubj)/ (ai+bj)

	Uai/a
Ubj/bj	0,3/5	0,8/6	1/7	0,7/8
0,7/9	0,3/14	0,7/15	0,7/16	0,7/17
1/10	0,3/15	0,8/16	1/17	0,7/18
0,6/11	0,3/16	0,6/17	0,6/18	0,7/19
0,8/12	0,3/17	0,8/18	0,8/19	0,7/20

Далее клетки им. равное значение суммы объ. по принципу Т-конормы (берем наибольшее из значений ф-ции принадлежности).

Uа+в = {0,3/14, 0,7/15, 0,8/16, 1/17, 0,8/18, 0,8/19, 0,7/20}

На практике применяют как правило треугольные и трапециевидные НЧ.

Ф-цияПр ТреНЧ имеет вид:

Треуг. НЧ – такое норм. НЧ, Фпр котор. может быть задана треуг. Ф

его удоб. пред. в виде записи из трех чисел: где а – модальное значение (1) альфа и бета – лев. и прав. коэфф. нечеткости.

Фпр и ТреугНЧ связаны след. образом

Ф-ция ТрапНЧ имеет вид:

Трап. НЧ – такое норм. НЧ, Фпр котор. может быть задана трап. Ф

его удоб. пред. в виде записи из трех чисел: где а и b– ниж. и верх. модальные значения (1) альфа и бета – лев. и прав. коэфф. нечеткости.

Связь функции представления числа

Харак. типы неопределенности - приблизительно равно (тр), среднее значение (трап), в интервале (трап), подобен объекту (обе)

Операции

Для трапециевидных

Сложение
a	b	α	β
a1+a2	b1+b2	α1+α2	β1+β2
Вычитание
a	b	α	β
a1-a2	b1-b2	α1+β2	β1+α2
Умножение
a	b	α	β
a1*a2	b1*b2	a1*α2+a2*α1	b1*β2+b2*β1
Деление
a	b	α	β
a1/b2	b1/a2	(a1*β2+b2*α1)/b2^2	(b1*α2+a2*β1)/a2^2

Для треугольных

Сложение
a	α	β
a1+a2	α1+α2	β1+β2
Вычитание
a	α	β
a1-a2	α1+β2	β1+α2
Умножение
a	α	β
a1*a2	a1*α2+a2*α1	a1*β2+a2*β1
.+/-	a2*α1-a1*β2	a2*β1-a1*a2
.-/-	-a2*β1-a1*β2	-a2*α1-a1*α2
Деление
a	α	β
a1/b2	(a1*β2+a2*α1)/a2^2	(a1*α2+a2*β1)/a2^2

Пример из жизни:

Филиал А – от 40 до 100 но с наиб. ожид. от 50 до 70 (трап) – А = [50,70,10,30]

Филиал Б – от 100 до 110 (кв) – Б = [100,110,0,0]

Филиал В – не более 20 (полтр) – В = [0,0,0,20]

Расходы 50-100 но скорее всего 80 (тр) Р = [80,80,30,20]

Доход = (50+100+0, 70+110+0, 10+0+0, 30+0+20) = [150,180,10,50]

ЧДоход = Доход – Расходы = (150-80, 180-80, 10+20, 50+30) = [70,100,30,80]

В текстовом виде – чистый доход составит от 40 до 180 но с наиб. вероятностью можно ожидать от 70 до 100 т.р