Лекция №6. Технология работы с текстовой задачей (1 ч.)

Процесс решения задачи учеником есть деятельность. Как всякая другая, она состоит из отдельных действий, этапов. Л. М. Фридман и Е. Н. Турецкий выделяют 8 этапов: 1) анализ задачи; 2) схематическая запись; 3) поиск способа решения; 4) осуществление решения; 5) про­верка решения; б) исследование задачи; 7) формулирование ответа; 8) анализ решения задачи [47, с. 29].

Наибольшую трудность в методическом плане представляют первые три этапа. На их характеристике мы и остановимся более подробно

Каждый этап процесса решения складывается из отдельных, более мелких элементарных действий (основных умений) или операций. Oпeрации, которые выполняются при решении текстовых задач, мы и постараемся выделить.

1. Ознакомление с текстом задачи и анализ ее содержания. В теории и практике наиболее распространены следующие способы предъявления задачи учащимся:

• чтение задачи вслух;

• чтение "про себя" с последующими ответами на вопросы учителя;

• выполнение заданий под диктовку учителя (математический диктант);

• "чтение" по готовому рисунку (таблице).

Каждый способ имеет определенные преимущества и недостатки. Поэтому нельзя отдавать предпочтение какому-то одному приему и игнорировать другие. Выбор способа определяется прежде всего, целями, которые ставит учитель, предлагая данную задачу, содержанием задачи, составом учащихся и т. д.

Неотъемлемой частью ознакомления с содержанием является его анализ. Он включает в себя следующие умения (элементарные дейст­вия):

1. устанавливать количество ситуаций (элементов), имеющихся в задаче;

2. выделять величины в тексте;

3)выделять предложения, выражающие функциональные связи (зависимости) между величинами, и фиксировать эти связи;

4)выделять и фиксировать искомые величины.

Анализ завершается схематической записью, которую можно назвать моделью текста задачи.

2. Схематическая запись задачи. Моделью текста может служить

• линейчатая или столбчатая диаграмма,

• отрезок с составляющими его частями,

• таблица,

• отрезок или луч с положением на нем движущихся объектов в различные моменты времени,

•графики равномерного движения и другие объекты.

Рассмотрим примеры различных моделей текстов задач.

Задача I. В трех поселках 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем — на 400 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке? [38, № 306].

Анализируя эту задачу, ученик должен осознать следующее: в задаче идет речь об одной ситуации, в которой действуют три величины. Обозначим их на естественном языке Ч₁ Ч₂, Ч₃ (число жителей первого, второго и третьего поселков соответственно). По условию известно, что Ч₂ > Ч₁ в 2 раза, а Ч₃ > Ч₂ на 400. Искомая величина Ч₂,

Покажем три вида схематических записей этой задачи.

Первый вид. Таблица в виде построчной записи (рис. 13)

Второй вид. Линейчатая диаграмма (рис. 14).

Рис.14

В столбчатой диаграмме – те же отрезки (или прямоугольники), но расположены вертикально.

Третий вид. Отрезок с составляющими его частями(рис.15)

Рис.15

Задача 2. Из Москвы в Ленинград отправился пассажирский поезд, скорость которого равна 80 км/ ч. Спустя 20 мин из Ленинграда в Москву отправился скорый поезд, скорость которого равна 90 км/ ч. Через сколько часов после выхода поезда из Москвы произойдёт встреча, если считать расстояние от Москвы до Ленинграда равным 650 км? [38, №282, а].

В этой задаче речь идёт о двух ситуациях (о двух движущихся объектах), каждая из которых характеризуется тремя величинами (S, v, t), находящимися в пропорциональной зависимости(S=vt).

В задачах на движение обычно показывается отрезок или луч и на нём положения движущихся тел в различные моменты времени. В задаче 2 это выглядит так, как показано на рис.16.

Найти время движения от М до Р.

Задача 3, Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 60 км, выехал автобус, а через 20 мин вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Автобус пришел в пункт В на 10 мин позже легкового автомобиля. Найдите скорости автобуса и легкового автомобиля [38, №331, в]. Краткая запись задачи 3 дана на рис. 17.

v_л >v_а на20 км/ч. Авт. через 10 мин после легк.

Найти v_а и V_л.

После такого рисунка данные задачи можно свести в следующую таблицу (рис. 18).

	S, км	V, км/ ч	t, ч
Автобус	60	?	на 1/2 больше
Легковой автомобиль	60	на 20 больше	?

Рис. 18.

Краткая запись условия — важное звено в процессе работы над задачей, так как она помогает выбрать способ решения. Существует три основных способа решения текстовых задач: арифметический, алгебраически» (с помощью уравнений или систем) и геометрический. Модели, представленные на рис. 14, 15, 16, наводят на арифметический способ решения, на рис. 13, 17, 18 — на алгебраический. Знание этих двух способов и умение их применять обязательны для всех учащихся. Поэтому, говоря далее о поиске плана решения, мы имеем в виду либо арифметический, либо алгебраический способ. Использование графика равномерного движения, как правило, приводит к геометрическому решению. С геометрическим способом решения текстовых задач можно ознакомиться, например, по статье [44].

3. Поиск плана решения задачи.

Переход от анализа текста задачи к поиску плана решения состоит в составлении элементарных задач, в переводе естественных отношений и

зависимостей между величинами на формальный математический язык, в получении математической модели задачи.

Перечислим основные умения (элементарные действия), которыми должен овладеть ученик для реализации третьего этапа.

1.Переводить отношения между величинами на язык равенств, уравнений, неравенств, их совокупностей и систем. Выражать величины из полученных равенств. По заданному равенству устанавливать отношения между величинами.

Основные виды отношений		Перевод
а)	А в сумме с В составляет С	А = С-В	В = С-А	С = А + В
б}	А больше В на С	А = В + С	В = А- С	С = А-В
в)	А меньше В на С	А = В-С	В = А+С	С = В-А
г)	А больше В в С раз	А = В·С	В = А:С	С=А:В
д)	А меньше В в С раз	А = В:С	В= А · С	С=В:А
е)	А составляет m/n от В
ж)	А составляет р% от В
з)	А увеличили на р%> стало В
и)	А уменьшили на р %, стало В

2. Записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся зависимости:

а)Если Ц — цена 1 ед., m — количество единиц, Ст. — стоимость m единиц, то

б) Если Р — выполненная работа, Пр. — производительность труда, t — время, затраченное на выполнение этой работы, то

в)

г) При движении навстречу с одновременным выходом

v₁+v₂=v_cбл=S:t

S=(v₁+v₂)·t

t=S:v_сбл

д) При движении вдогонку с одновременным выходом и исходным расстоянием S между объектами

v₁-v₂= v_cбл=S:t, (v₁>v₂)

S = (v₁-v₂)·t

t=S:v_сбл

е) Если а — скорость течения реки, v — собственная скорость

движущегося тела, тогда

При осуществлении перевода получается совокупность равенств. Если среди них есть хотя бы одно, которое содержит только одну неиз­вестную величину, тогда эту величину, а вслед за ней и другие, можно найти. В этом случае задача решается арифметически. Умение перево­дить отношения и зависимости при арифметическом способе решения выражается в умении поставить вопрос, взаимосвязывающий три вели­чины, т. е. сформулировать элементарную задачу, ,в которой по двум величинам можно найти третью. Для поиска совокупности таких задач используется синтез или классический анализ.

Чтобы решить задачу алгебраически, нужно уметь выполнять еще два действия:

3. Выбирать неизвестную (ые) величину (ы), через которую (ые) вы­ражать другие величины.

4. Выбирать условие (я), на основе которого(ых) составляется урав­нение (система уравнений).

Рассмотрим, например, задачу 2. Переводя на математический язык отношения и зависимости, зафиксированные на рис. 16, мы сразу же. получаем серию арифметических задач в одно действие (сформулируем только требования):

• найти расстояние МА;

• найти расстояние АЛ;

• найти время движения пассажирского поезда на участке АР (время сближения поездов на участке. АЛ);

• найти искомое время.

Здесь поиск плана осуществлен синтетическим путем.

Если не осуществлять прямого перевода, то туже последователь­ность элементарных задач можно получить, проводя классический ана­лиз (рис. 19).

t_Mp

t_MA, t_AP

v_сбл АЛ

v_n,v_c AM

известны

V_n,tAP

известны

Рис. 19.

Рассмотрим теперь задачу 1. Если ученик кратко записал условие в первом виде (рис. 13), то он осуществляет перевод задачи на математи­ческий язык в следующем порядке:

1)Ч₂ = 2Ч,;

2. Ч₃ = Ч₂-400 = 2Ч₁ - 400;

3. Ч₁+Ч₂ + Ч₃ = 6000 или Ч₁+2Ч₁ + 2Ч₁ - 400 = 6000.

К ак видим, при таком подходе выбор неизвестного и составление уравнения осуществляются почти автоматически. Замена Ч, буквой х приводит к общепринятым в математике обозначениям и записям. Как первые, так и вторые могут быть сделаны в таблице — краткой записи условия (рис. 20).

х Ч₁ Ч₁ ?

2x 2Ч₁ Ч₂ ?в 2 p. б. 6000

2x-400 2Ч₁-400 Ч₃ ?на400м.

Ч₁+2Ч₁ +2Ч₁ - 400 = 6000 или x + 2x + 2x - 400 = 6000

Рис.20.

Как известно, в процессе обучения учащихся решению текстовых за­дач алгебраическим методам ведущим, определяющим является этап моделирования, а результатом этого этапа являются составленные моде­ли (уравнения, неравенства, системы) в зависимости от выбора неизвес­тной. Отразить эту идею можно в самом тексте задачи, заменив требо­вание по нахождению конкретной величины требованием составить возможные уравнения по условию задачи, Тогда, например, по таблице (рис. 20) к первой задаче эти действия выглядят так.

Если в качестве неизвестной выбрана величина:

1. Ч_1, то Ч₂ = 2Ч₁, Ч₃ = Ч₂-400 , т.е. Ч₁ + 2Ч₁ + (2Ч₁- 400) = 6000;

2. Ч₂, то Ч₁= 1/2Ч₂, Ч₃ = Ч₂ - 400 , т.е. 1/2Ч₂ + Ч₂ + (Ч₂ - 400) = 6000;

3. Ч₃, то Ч₂= Ч₃ + 400 , Ч₁ = 1/2(Ч₃ + 400), т.е. 1/2(Ч₃ + 400) +(Ч₃ + 400)+ + Ч₃= 6000.

Сравнивая составленные уравнения, можно подметить такую зако­номерность: для получения более простой модели в задаче рассмотрен­ного типа за неизвестную величину целесообразнее выбирать меньшую из сравниваемых величин. Выделенную закономерность затем можно проверить на задачах подобного типа. Но запоминать, а тем более зау­чивать особенность этого типа задач нет смысла. Важно, чтобы на уров­не применения ученик осознавал, что составленные уравнения зависят от субъективного выбора величины в качестве неизвестной,

Перевод на математический язык задачи 3 (рис. 21), но уже в VIII

классе позволит продемонстрировать идею моделирования в теме

"Уравнения, сводящиеся к квадратным". Здесь составленная модель

зависит не только от выбора неизвестной, но и от выбора условия составления уравнения. Покажем это.

В естественных обозначениях:

, тогда или ;

, тогда или ;

Учитывая, что t_a>t_л на и v_л>v_а на 20, получаем:

(1) и (2)

Если в качестве неизвестной выбираем величину:

V_a, тогда из (2) t_a, тогда из (1)

получаем

и искомое уравнение имеет вид:

Если в качестве неизвестной выбираем величину:

v_л, тогда из (2) t_л, тогда из (1)

получаем

и искомое уравнение имеет вид:

Рис.21

Анализ выполненных действий позволяет выделить такие закономерности в составлении моделей. Бели для составления уравнения используется одна из двух зависимостей между величинами, то за неизвестную величину может приниматься любая из двух сравниваемых однородных величин, связанных второй зависимостью. Как и в задаче 1, эта закономерность проверяется на нескольких задачах, а решение составленных уравнений и нахождение искомой величины остаются для самостоятельной работы.

Ясно, что овладение перечисленными выше операциями — условие необходимое, но не достаточное для осуществления поиска плана решения любой текстовой задачи. Иногда даже в несложных ситуациях приходится выполнять и специфические действия. Рассмотрим, например, задачу 1. Краткая ее запись во втором и третьем видах (рис. 14 в 15) показывает следующий арифметический способ решения: Если число жителей третьего поселка увеличить на 400, то общее число жителей тоже увеличится на 400, т. е. их будет 6400. Примем теперь число жителей первого поселка за одну часть, тогда во втором и третьем поселках их будет по две части, а во всех трех поселках 5 частей. Отсюда легко найти число жителей каждого поселка.

Различные нестандартные приемы также нужно показывать учащимся, поскольку в поиске плана решения широко используются и наблюдения, и опыт и аналогия. На их основе начинается обучение анализу и синтезу. В поиске решения велика роль и интуиции.

Таким образом, решение задач имеет неограниченные возможности для формирования как алгоритмических, так и эвристических приемов умственной деятельности учащихся. Все это способствует развитию гибкости, устойчивости, самостоятельности ума.

Анализ деятельности учителя

Эффективность деятельности ученика по решению задачи зависит как от уровня сформированности составляющих ее элементарных действий, так и от правильности ее организации. Все это и должен предусмотреть учитель, продумывая методику работы над задачей на уроке.

Анализировать содержание задачи, составлять элементарные задачи школьники учатся начиная с первого класса. Переводом отношений и зависимостей между величинами на язык равенств, уравнений и неравенств они занимаются при изучений соответствующих тем. Для того чтобы ученик овладел тем или иным умением, необходима специальная целенаправленная работа учителя. С организацией такой работы можно познакомиться, например, по статьям [3. 6 ].

Выделим действия учителя при разработке методики решения текстовой задачи на уроке и проиллюстрируем их на задаче № 1.

1. Рещить.задачу в соответствии со всеми этапами процесса решения (по возможности различными спо собами), уяснить идею, метод, прием рещения.	Выше намечены два способа решения задачи №1. Алгебраически задача решается стандартным приемом, арифметически — с применением специфического действия.
2.Уяснить назначение выбранной задачи: а)ознакомление с фабулой; б)ознакомление с методом решения; в)формирование метода, г)возбуждение интереса; д)контроль и т. д.	Задачу можно решать в V - VII классах и далее. Назначение ее может быть каким угодно (кроме ознакомления с фабулой). Предположим, что она решается VII классе в теме "Уравнения первой степени" и используется для ознакомления с методом, т. е. на неймы хотим показать прием решения, образец оформления.
3.Определить опорный материал: выделить функциональные связи между элементами условия и заключения, установить степень их новизны для учащихся, отобрать материал для повторения, продумать организацию повторения.	В задаче даны зависимости "больше в", "меньше на" между двумя величинами, сумма трех величин. К VII классу учащиеся должны все это хорошо знать и уметь переводить на математический язык. В противном. случае необходима специальная подготовительная работа на предыдущих уроках.
4.Продумать организацию работы, учащихся: фронтальная (устная, письменная, комментированная и т д.), групповая, индивидуальная	На этой задаче учитель должен учить учащихся последовательности выполнения действий при решении задачи алгебраическим способом. С этой целью работа ведется фронтально.
5.Выбрать метод решения: а)в содержательном плане: арифметический, алгебраический, геометрический; б)в логическом плане: синтез, разновидности анализа и синтез.	Задачу будем решать алгебраически. Поэтому сначала проводится алгебраический анализ (составление уравнения), а затем синтез (решение уравнения)
Продумать оформление записей на доске и в тетрадях.	В процессе поиска решения сначала на доске, а затем в тетрадях учащихся должна появиться таблица, иллюстрирующая прием деятельности (рис. 22).

Выделить величины	Выписать зависимости между ними	Ввести х и выразить через него другие величины	Выбрать условие для составления уравнения. Составить уравнение
Ч1 Ч2 Ч3	в 2 р. больше ? всего 6000 на 400 меньше	Ч1=х Ч2 =2х Ч3=2х-400	Ч1+Ч2+Ч3=6000 Х+2х+2х-400=6000

Рис. 22

7. Выбрать способ предъявления задачи и форму краткой записи в соответствии с 5, а.

Покажем далее два фрагмента урока.

Учащиеся читают задачу "про себя", а затем отвечают на вопросы учителя и выполняют его задания.

•О каких величинах говорится в задаче? (О числе жителей в первом, во втором и в третьем поселках).

•Обозначим их Ч₁, Ч₂ и Ч₃ соответственно, я их запишу в столбик. Какие величины сравниваются во втором предложении? (Ч₂ и Ч₁, Ч₃ и Ч₂).

• Что же известно о Ч₂ и Ч₁? о Ч₃ и Ч₂? Запишу это в соответствующих строчках.

• Что известно о Ч₁, Ч₂ и Ч₃ из первого предложения?

• Какую величину требуется найти? (Заполняется второй столбец таблицы.)

8 . Разработать систему Поскольку на этой задаче учитель вопросов в соответствии знакомит учащихся с последователь- с 5, б. ностью действий при решении задач

с помощью уравнений, то он не

ставит вопросов, а объясняет, что и

как нужно делать.

Возможен такой вариант:

• Переведем записанные отношения между величинами на матема­тический язык, т. е. запишем предложения в виде равенств или нера­венств. Для этого одну величину примем за х. Здесь сначала Ч₂ сравни­вается с Ч₁. Поэтому за х примем Ч₁. (Получат соответствующие записи в третьем столбце таблицы).

• У нас осталось неиспользованным число 6000 — число жителей всех трех поселков. Запишем это условие в виде равенства Ч₁+Ч₂+Ч₃ = 6000 и используем его для составления уравнения. (Заполняется четвертый столбец таблицы).

• А теперь повторим, какие действия и в какой последовательности мы выполняли. (Появляется верхняя строка в таблице).

Учащиеся переносят таблицу в тетрадь.

Далее решается уравнение, делается проверка по условию (здесь нужно установить, что Ч₁, Ч₂ и Ч₃ при полученном значении х положительны и меньше 6000, записывается ответ.

9.Наметить заключительный этап в решении задачи: а) осмысление ответа; б) другие способы решения; в) рассмотрение частных случаев;

г)развитие задачи; д) формулирование обратных задач; е) поучительные выводы из решения задачи, другие аспекты.

Так как учащихся необходимо учить выбирать величину, через которую будут выражаться остальные, то на заключительном этапе решения задачи 1 можно предложить семиклассникам составить все возможные уравнения в зависимости от выбора неизвестной величины (см. стр. 94). После этого сделать вывод о целесообразности выбора х.

10.Разработать учебные наглядные средства;

а) для "выдачи" задачи;

б) для организации поиска решения;

в) вспомогательные задачи;

д)для иллюстрации образца оформления;

е) для организации заключительного этапа.

Оформление записей (таблицу, последующее решение уравнения, ответ) можно проиллюстрировать с помощью кодопозитива, открывая .постепенно нужные столбцы, и строки.

ЛЕКЦИЯ № 7. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ С ПОЗИЦИЙ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ (3 часа)

Важнейшим действием, входящим в систему действий по проектированию изучения темы и системы уроков по ней, является анализ содержания материала. Поскольку в математическое содержание входят и методологические знания, то при анализе материала важно выделить - состав методологических знаний, которые объективно в нем заложены и к которым учитель может приобщать школьников при целесообразно организованной учебно-познавательной деятельности.

Логико-математический анализ содержания темы

Основной этап подготовки учителя к изучению темы состоит в логико-математическом и дидактическом анализе ее теоретического содержания и задачного материала. Трудность логико-математического анализа содержания с рассматриваемых в этом учебном пособии позиций связана с выявлением тех методологических знаний, которые объективно в нем содержатся, но явно не всегда отражены. В связи с этим в данном параграфе выделяются основные параметры анализа теоретического и задачного материала.