35. Уравнения равновесия и движения в обобщенных координатах.

Запишем принцип, выражая виртуальную работу активных сил системы в обобщенных координатах:

Так как на систему наложены голономные связи, вариации обобщенных координат не зависят между собой и не могут быть одновременно равны нулю. Поэтому последнее равенство выполнится только тогда, когда коэффициенты при δ_j (j = 1 ÷ s) одновременно обращаются в нуль, то есть

(12)

Таким образом, для равновесия материальной системы с голономными стационарными идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы одновременно равнялись нулю все обобщенные силы системы по всем обобщенным координатам.

Если силы, действующие на систему, являются потенциальными,

то согласно ( 11) уравнения равновесия принимают вид

(13)

Запишем принцип в виде

где сумму активных сил и реакций связей назовем просто силами системы. Естественно, в силы системы входят силы, виртуальная работа которых не равна нулю, то есть активные силы и реакции неидеальных связей. Выражая в последнем равенстве виртуальную работу сил системы и виртуальную работу ее сил инерции в обобщенных координатах, получаем

(14)

где Q_j^u - обобщенная сила инерции по данной обобщенной координате, равная

(15)

У материальной системы с голономными связями вариации обобщенных координат δq_j (j = 1 ÷ s) не зависят друг от друга и не могут одновременно равняться нулю. Поэтому равенство (14) может выполниться только тогда, когда

(16)

то есть при движении материальной системы с голономными связями суммы обобщенных сил системы и обобщенных сил инерции системы по всем обобщенным координатам равны нулю.

Заметим, что принцип Даламбера-Лагранжа в обобщенных координатах справедлив для систем с голономными связями. С его помощью можно составлять дифференциальные уравнения движения таких систем. Однако процесс составления дифференциальных уравнений значительно упростится, если выразить все входящие в него обобщенные силы инерции через кинетическую энергию системы. Рассмотрим это в следующем параграфе.

36. Виды равновесия. Понятие об устойчивости равновесия.

Определение понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце XIX века в работах русского ученого А. М. Ляпунова. Рассмотрим это определение.

Для упрощения выкладок условимся в дальнейшем обобщенные координаты q₁, q₂,..., q_s отсчитывать от положения равновесия системы:

, где

Положение равновесия называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого числа можно найти такое другое число , что в том случае, когда начальные значения обобщенных координат и скоростей не будут превышать :

значения обобщенных координат и скоростей при дальнейшем движении системы не превысят

Иными словами, положение равновесия системы q₁ = q₂ = ...= q_s = 0 называется устойчивым, если всегда можно найти такие достаточно малые начальные значения , при которых движение системы не будет выходить из любой заданной сколь угодно малой окрестности положения равновесия . Для системы с одной степенью свободы устойчивое движение системы можно наглядно изобразить в фазовой плоскости (рис.77). Для устойчивого положения равновесия движение изображающей точки, начинающееся в области , не будет в дальнейшем выходить за пределы области .

Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если с течением времени система будет приближаться к положению равновесия, то есть