2. Код з парним числом одиниць

Це найпростіший код, який дозволяє виявляти всі помилки не парної кратності. Він містить один контрольний символ і, тому має мінімальну надмірність.

Структура кодової комбінації має вигляд

.

Контрольний символ формується за загальним правилом

тобто всі інформаційні символи входять в склад лінійної суми.

На приймальному кінці лінії зв’язку із прийнятих інформаційних сигналів формується допоміжний контрольний символ за правилом

який потім співставляється з прийнятим контрольним шляхом підсумовування за модулем 2

Якщо одно розрядне двійкове число дорівнює нулю, це свідчить про відсутність помилок не парної кратності. Найбільш важливо виявлення однократних помилок, бо імовірність двократних помилок

, а при , що є вимогою до системи зв’язку .

Цей називається кодом з парним числом одиниць, тому що всі передані і правильно прийняті комбінації містять парне число одиниць.

Наприклад, якщо передана і прийнята комбінації

101011, то =0.

Якщо спотворений один символ в кодовій комбінації і вона має вигляд 100011, то =1, що свідчить про наявність помилки.

3. Інверсний код

Інверсний код дозволяє виявляти майже всі помилки непарної і парної кратності за рахунок великої надмірності

тому що кількість контрольних символів дорівнює кількості інформаційних .

Структура кодової комбінації інверсного коду

.

Контрольні символи формуються за правилом

тобто якщо сума інформаційних символів дорівнює нулю, контрольні символи , якщо сума дорівнює одиниці, контрольні символи є інвертовані інформаційні .

На приймальному кінці лінії зв’язку здійснюється перевірок прийнятої кодової комбінації за правилами

Якщо хоч один елемент контрольного числа не дорівнює нулю, це свідчить про наявність помилки.

Наприклад, вихідна комбінація 1010,

Тоді комбінація інверсного коду 10101010.

Якщо помилки в прийнятій комбінації відсутні

Якщо в прийнятій комбінації два символи спотворені, тобто маємо

01101010

Тоді

Наявність помилок в кодовій комбінації виявлена.

4. Код з подвоєнням елементів

Це простий виявляючий код.

В цьому коді контрольні символи утворюються за правилом

і кодова комбінація має вигляд

На сусідніх позиціях символи завжди протилежні. На приймальному кінці перевірка здійснюється шляхом підсумовування двох символів на одному тактовому інтервалі

.

В цьому випадку не виявлення помилок буде тільки у разі одночасного спотворення інформаційного і контрольного символів, імовірність чого , тобто дуже мала. Код дуже простий в апаратній реалізації, але має недолік високу надмірність , що призводить до зменшення швидкості передавання корисної інформації у 2 рази.

5. Коди Хемінга

Відомо кілька різновидів коду Хэмінга, характеризуються різною коригувальною здатністю. До цих код звичайно ставляться коди з виправленням однократних помилок і коди з виправленням однократних і виявленням дворазових помилок.

Код Хэмінга, що забезпечує виправлення всіх однократних помилок, повинен мати мінімальна кодова відстань . Кількість контрольних символів визначається із вирішення нерівностей , або

де “k” - кількість інформаційних символів.

Код будується таким чином, щоб у результаті перевірок одержати - розрядне двійкове число, що вказує номер перекрученої позиції кодової комбінації. Для цього перевірочні символи повинні перебуває на номерах позицій, які виражаються ступенем двійки , тому що кожний з них входить тільки в один з перевірочних рівнянь. Таким чином, якщо нумерувати позиції ліворуч на права, те контрольні символи повинні перебуває на перших, другий, четвертої й т.д. позиціях.

Результат першої перевірки дає цифру молодшого розряду синдрому у двійковому записі. Якщо результат цієї перевірки дасть 1, то один із символів перевіреної групи перекручений. Таким чином, першою перевіркою повинні бути охоплені символи з номерами, що містять у двійковому записі одиниці в першому розряді: 1,3,5,7,9 і т.д. результатом другої перевірки дає цифру другого розряду синдрому. Отже, другою перевіркою повинні бути охоплені символи з номерами, що містять у двійковому записі одиниці в другому розряді: 2,3,6,7,10 і т.д.

Аналогічно при третій перевірці повинні перевіряться символи, номери яких у двійковому записі містять одиниці в третьому розряді: 4,5,6,7,12 і т.д.

Таким чином, перевірочні групи повинні мати вигляд

……………………………………..

Перевірочна матриця коду повинна мати стовпців і рядків.

Кожний стовпець повинен становити двійкову комбінацію, що вказує позиції коду.

Наприклад, для коду довжиною , що забезпечує виправлення однократних помилок, кількість надлишкових символів . При цьому в якості перевірочної може бути обрана наступна матриця

Представимо як приклад просту двійкову комбінацію 10011 кодом Хемінга. Тому що інформаційними повинні бути третій, п'ятий, шостий, сьомий і дев'ятий символи, то для розглянутого коду З умови забезпечення парності сум, одержимо наступне значення перевірочних символів:

. Отже, простому п’ятиелементному коду 11011 відповідає дев’ятиелементний код Хемінга 101100111.

Нехай тепер при передачі відбулося перекручування п'ятого символу, тобто код прийняв вид 101110111. тоді в результаті першої перевірки одержимо , другої , третьої і четвертої . Таким чином, у результаті перевірок отриманий синдром , що вказує на перекручування п'ятого символу. Виправлення помилок зводиться до інвертування символу на п'ятої позиції.

Код Хемінга з кодовою відстанню отримують шляхом додавання до коду Хемінга з перевірочного символу, що представляє собою результат підсумовування по модулі два всі символи кодової комбінації.

Операція декодування складається із двох етапів. На першому визначається синдром, що відповідає коду з , на другому – перевіряється останнє перевірочне співвідношення.

Для розглянутого раніше коду з перевірочна матриця може мати вигляд

Додаткове перевірочне співвідношення, що вводиться для збільшення мінімальної відстані коду Хемінга до , має вигляд

.

Надмірність коду Хемінга залежить від кількості інформаційних символів і при зміні k від 4 до 1013 змінюється від 0,429 до 0,098 при й від 0,5 до 0,0107 при .