Вопрос 1

Матрица. Под матрицей понимают прямоугольную таблицу с числовыми данными, в которой m строк и n столбцов. Обозначают A(mxn); A(m,n). Элементы матрицы a_ij, где i – номер строки, а j – номер столбца. Виды матриц:

1. Квадратичная матрица – количество строк равно количеству столбцов m=n A(nxn)

2. Матрица строка – A= (a₁₁ a₁₂ … a_1n)

3. Матрица столбец

4. Ступенчатый вид матрицы. Главная диагональ – элементы с одинаковыми индексами a_11, a₂₂... Ступенчатый вид – когда под главной диагональю матрицы находятся только нулевые элементы, остальные – любые (но не нули). Для квадратичных матриц ступенчатый вид называют треугольным

5. Нулевая матрица – все элементы нули

6. Единичная матрица – только квадратичная матрица E(nxn) – на главной диагонали единицы, а остальные нули.

Операции над матрицами:

1. умножение числа на матрицу

2. сложение и вычитание матриц одинаковой размерности

3. умножение матриц A(mxn) * B(nxk) = AB(mxk). Матрица АВ элементы являются суммой произведений элементов строки матрицы А на элементы столбца В

4. возведение матрицы в целую положительную степень. Возводить в степень можно только квадратичную матрицу.

5. транспонирование матрицы – транспонированная матрица А’ получается из матрицы А с заменой местами строк и столбцов

Свойства операций над матрицами:1. А+В=В+А; 2. (А+В)+С=А+(В+С); 3. α(А+В)=αA+αB; 4. А(В+С)=АВ+АС; 5. А(ВС)=(АВ)С; 6. (A’)’=A; 7. α(AB)=(αA)B=A(αB); 8. (αA)’=αA’; 9. (A+B)’=A’+B’; 10. (AB)’=B’A’; 11. AB≠ВА

Вопрос 2

Определитель. Определитель можно вычислить только для квадратичной матрицы. Определитель матрицы А(nxn) – число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, с учетом знака. Определитель второго порядка . Определитель матрицы А обозначается |A| Вычисляется : из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали. |A|=a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁. Определители третьего порядка. Правило треугольника |A|=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₂₁a₃₂a₁₃ – a₃₁a₂₂a₁₃ – a₃₂a₂₃a₁₁ – a₂₁a₁₂a₃₃.

Свойства определителей:

1. |A|=|A’| - определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы

2. Если в матрице поменять местами любые 2 строки (столбца), то знак определителя изменяется на противоположный

3. Если в матрице любую строку (столбец) умножить на число, то определитель умножится на это же число

4. Если в матрице есть нулевая строка (столбец), то определитель равен нулю.

5. Если в матрице есть одинаковые строки (столбцы), то определитель равен нулю.

6. Если в матрице есть строка a_i равная линейной комбинации 2 других строк, то определитель равен нулю. Аналогично для столбцов. Если в матрице есть пропорциональные строки, то определитель равен нулю.

Вопрос 3

Определители высших порядков. Для матрицы A(nxn) минор k-го порядка (k<n) получается следующим образом: вычеркиваем любые k столбцов и k строк матрицы. Из элементов на их пересечении составляли матрицу M_k(kxk). Матрица из не вычеркнутых, оставшихся элементов называется дополнительным минором к M_k, его размер (n-k). Каждый элемент матрицы a_ij рассматривается как минор первого порядка. Дополнительный минор к нему обозначается A_ij a_ij = (-1)^i+j * |A_ij| = A_ij. Алгебраическое дополнение к элементу a_ij - определитель его дополнительного минора с учетом знака A_ij=(-1)^i+j *|M_ij|. Теорема Лапласа Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения. |A|=a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in Следствие: Теорема Лапласа справедлива и для любого столбца матрицы. Вычисление определителя по теореме Лапласа называют разложением по элементам строки или столбца. Следствие: Если матрица приведена к треугольному виду, то ее определитель равен произведению диагональных элементов |A|=a₁₁a₂₂…a_nn. Вычисляя определитель лучше раскладывая по той строке (столбцу), где больше нулей.