Вопрос 4

Системы линейных уравнений. СЛУ имеет вид a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁

X₁,x₂,…,x_n – неизвестные (переменные) a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

A_ij(i=1,…,m; j=1,…,n) - коэффициенты a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

B₁, b₂,…,b_m – свободные члены

Решение СЛУ – набор n чисел, таких, что подстановка вместо неизвестных в каждом уравнении системы дает верное равенство

Если СЛУ имеет хотя бы одно решение, то она совместная; в противном случае – несовместная. Главная матрица системы состоит из коэффициентов. Расширенная матрица системы составлена из коэффициентов и свободных членов. Система совместна, если ранг А = рангу А₁. Если rang A=n, то решение единственное. Если rang A>n, СЛУ имеет бесконечное число решений. Если b₁=b₂=…=b_m=0, то СЛУ называется однородной. В противном случае – неоднородной. Однородная СЛУ всегда имеет нулевое решение: х₁=х₂=…=х_n=0. Системы уравнений называют эквивалентным, если все их решения совпадают.

Методы решения СЛУ:

Метод Крамера и матричный метод применимы, если система имеет единственное решение (rang A=n). Для этого проверяется условие |A| не равно нулю. Метод Крамера Вычислить |A|. В матрицу А вместо первого столбца подставляем столбец свободных членов. Вычисляем определитель получившейся матрицы 1. В матрицу системы А вместо второго столбца подставляем столбец свободных членов. Вычисляем определитель получившейся матрицы 2. И так далее по всем столбцам. Матричный метод. СЛУ можно записать в матричном виде АХ=В, где А – матрица системы, В – столбец свободных членов, Х – столбец неизвестных. Х=А^-1В. Найти матрицу, обратную матрице системы А^-1. Умножить ее на столбец свободных членов. Приравнять столбец неизвестных с получившимся столбцом. Метод Гауса. Случай единственного решения. Выписать расширенную матрицу системы и привести ее к ступенчатому виду. Записать систему, соответствующую ступенчатой матрице. Эта система эквивалентна исходной.

Вопрос 5

Вектор – направленный отрезок, определяемый координатами начала и конца. АВ: А(a_1,a₂,a₃) B(b_1,b₂,b₃) AB(b₁-a_1;b₂-a₂;b₃-a₃). Длина вектора |AB|= √ (b₁-a₁)² (b₂-a₂)² (b₃-a₃)². Действия с векторами: сложение (правило треугольника и параллелограмма), умножение вектора на число. Коллинеарные векторы – расположены на параллельных прямых. Различают сонаправленные и противоположно направленные векторы a||b

Вектор определяется упорядоченным набором чисел a=(a₁,a₂,…,a_n), которые называются его координатами. Длина (модуль) вектора |a| = √a₁² +a₂² +…+a_n². Операции с векторами: 1. Сумма векторов; 2. Умножение вектора на число; 3. Нуль-вектор 0=(0,0,…,0); 4. Противоположный вектор (-a) такой, что a+(-a)=0; 5. Коллинеарные векторы a||b, если a₁/b₁=a₂/b₂=…=a_n/b_n=k k>0 - сонаправлены, k<0 – противоположно направлены; 6. Равные векторы a=b, если a₁=b₁, a₂=b₂,…, a_n=b_n. Скалярное произведение ab=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n. Скалярное произведение определяет метрику в линейном пространстве, т.е. позволяет вычислять длину векторов. Свойства скалярного произведения: 1 ab=ba; 2. α(ab)=(αa)b=a(αb); 3 a(b+c)=ab+ac 4. aa≥0 aa=0 a=0 Геометрический смысл Пусть α– угол между векторами a и b, тогда cos α = ab/|a| |b|. Если вектор a перпендикулярен вектору b, то ab=0. Верно и обратное. Система векторов a₁,a₂,…,a_n называется ЛЗ, если существуют числа k₁,k₂,…,k_n одновременно не равные нулю, таким, что k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n=0 Т.е. любую векторную систему можно представить в виде линейной комбинации остальных. Система векторов называется ЛНЗ, если это равенство возможно в единственном случае: k₁=k₂=…=k_n=0. Размеренность линейного векторного пространства называется максимально возможное число ЛНЗ векторов нём. Размеренность = n, если в пространстве существует и ЛНЗ векторов, а любые (n+1) векторов ЛЗ. Если линейное пространство обозначить R, то его размерность dim(R)