Томск – 2001

УДК 530.10

Анохина И.Н., Нявро В.Ф., Федяйнова Н.И. Механика. Часть II. Кинематика и динамика системы материальных точек: Учебное пособие / Под общей редакцией зав. каф. общей и экспериментальной физики проф. В.П. Демкина.– Томск: Изд-во НТЛ, 2001.– 40 с.

Учебное пособие посвящено изложению вопросов системы материальных точек и применению модели системы материальных точек к описанию движения твердого тела. Изложение этих вопросов в данном пособии позволяет более глубоко изучить трудные вопросы динамики твердого тела.

Учебное пособие предназначено для студентов физико-ма­те­матических специальностей как для самостоятельного изучения изложенных вопросов, так и для их повторения, закрепления и более глубокого изучения.

© Томский госуниверситет, Институт дистанционного образования, 2001

© Издательство НТЛ, дизайн обложки, 2001

Введение

При изучении движения материальной точки размерами и формой тела пренебрегают. Однако динамика материальной точки не содержит информации о вращательном движении, о деформациях.

Поэтому при изучении движения твердого тела модель материальной точки имеет ограниченное применение. В то же время с успехом может быть применена модель системы материальных точек. Вопрос о движении системы материальных точек имеет значение и при изучении движения системы материальных точек, каждая из которых рассматривается как материальная точка.

1. Динамика системы материальных точек

1.1. Второй закон Ньютона для системы материальных точек

Рассмотрим систему из произвольного числа материальных точек. Пусть – сила, с которой k-я точка действует на i-ю, а – сила, с которой i-я точка действует на k-ю. Третий закон утверждает, что обе эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точки, причем

.

В таком понимании третий закон Ньютона позволяет выполнить переход от механики отдельной материальной точки к механике системы материальных точек. В частности, он позволяет распространить закон сохранения импульса на случай системы из произвольного числа N взаимодействующих материальных точек. Рассмотрим этот вопрос.

Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренние и внешние. Внутренними называются силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела системы; внешними – силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой. Во Вселенной не может быть изолированных в абсолютном смысле систем. Однако при определенных условиях можно тело считать в достаточной степени изолированным. Например, материальное тело в некоторой области космического пространства, достаточно удаленной от массивных космических тел, ведет себя как изолированная система. В других случаях движение системы в определенных направлениях можно рассматривать как движение изолированной системы, хотя в целом система таковой не является.

Запишем уравнения движения для всех точек, входящих в систему. Пусть в системе из N взаимодействующих частиц кроме внутренних сил на i-ю частицу действуют внешние силы, результирующая которых равна . Тогда уравнения движения примут вид

Сложим правые и левые части этих уравнений. Так как и , то

или

, (1.1)

где – импульс системы материальных точек.

Импульс системы – величина аддитивная, то есть импульс системы равен сумме импульсов отдельных точек, входящих в системы, независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Согласно полученному уравнению, импульс системы может меняться только под действием внешних сил. Внутренние силы не могут изменить импульс системы.

1.2. Теорема о движении центра масс системы

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка, называемая центром масс, которая обладает рядом интересных и важных свойств. Ее положение относительно начала данной системы координат характеризуется радиус-вектором , определяемым как

, (1.2)

где – масса и радиус-вектор i-й частицы, m – масса всей системы.

Если продифференцировать (1.2) по времени и умножить на m, то получится

или

,

где – скорость центра масс системы. Таким образом импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс:

.

Подставив это выражение в (1.1), получим

. (1.3)

Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на все точки системы. Этот результат называется теоремой о движении центра масс. Уравнение (1.3) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему материальных точек: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.

Примером может служить движение снаряда по параболе в безвоздушном пространстве. Если в какой-либо момент времени снаряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки под действием внутренних сил будут разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было.

Если система замкнута, то и уравнение переходит в

,

следовательно, Центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно.