3.2) Включение в цепь r, l гармонического напряжения.

Пусть внешнее воздействие изменяется по гармоническому закону

Определить ток переходного процесса і при t ≥ 0

Вынужденный ток представляет собой установившееся гармоническое колебание

где .

Общий ток переходного процесса

Определим А. При t=0, ток в цепи равен нулю: і=0, то есть

откуда

Ток в цепи при t>0 определяется выражением

То же самое , что , или

Видно, что начальное значение свободной составляющей тока зависит от фазы входного воздействия ψ

1. если , то , потому

т.е. сразу после включения в цепи устанавливается стационарный ржим за счет того, что в момент t=0, .

2. если , то имеет место переходный процесс. Кривые изменения токов і, і_вын , і_св имеют вид:

Во время переходного процесса установившийся ток накладывается на свободный ток. В результате этого наложения в отдельные моменты ток переходного процесса I _{m(n n)} >>I_m уст. режима.

3) если или , то в момент включения вынужденный ток имеет наибольшую величину; поэтому в цепи будет иметь место максимально возможные значения тока.

Ток переходного процесса изменяется по гармоническому закону на фоне свободной составляющей тока.

В электрических цепях это увеличение тока переходного процесса нужно учитывать, чтобы не было перегрузок.

3.3) Короткое замыкание цепи r, l.

Цепь, по которой протекает постоянный установившийся ток, замыкается накоротко.

После замыкания (при t>0) в цепи будет иметь место только собственный процесс, т.к. внешнее воздействие ; , при t=0: , поэтому , и выходит

ЭДС самоиндукции

Кривые изменения i и l_L имеют вид:

Скорость убывания тока зависит от . Чем больше тем медленнее затухает процесс.

За время п.п. при к.з. цепи, энергия магнитного поля катушки индуктивности будет расходоваться на тепловые потери в активном сопротивлении. Величина этих потерь определяется соотношением.

4. Переходные процессы в цепи rc.

Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из последовательной включенных R и C. Определим характер изменения напряжения на конденсаторе (и как следствие ).

В момент t=0 к цепи включается некоторое внешне напряжение e(t).

Применяем 2-й закон Кирхгофа.

При t≥0 :

;

тогда

,

или

Имеем дифференцированное уравнение 1-го порядка с неизвестной . Общие решение надо искать в виде суммы свободной Uсв и вынужденной Uвын составляющих напряжения:

где τ_с =RC ─ постоянная времени RC-цепи.

Рассмотрим переходные процессы при различной форме входного напряжения.

4.1)Включение в rc-цепь постоянного напряжения

При t→ ∞, , т.е . Из начальных условий определим А.

, поэтому из условия ,

получим

Таким образом, при t≥0:

и . (6)

Видно что нарастает по экспоненциальному закону, стремясь к . Скорость нарастания зависит от

(7)

Ток, определяемый выражением (7), убывает по экспоненте.

Аналогично изменяется напряжение на сопротивлении:

Во время переходного процесса в емкости накапливается электрическая энергия. При t→ ∞

Одновременно часть энергии, отдаваемой источником, расходуется в активном сопротивлении. Энергия теряемая и накапливаемая равны

4.2) Включение в цепь RC гармонического напряжения .

Пусть при t≥0: .

Решение . Найдем .

Ток в цепи

Напряжение на емкости отстает по фазе от тока на 90º. Поэтому вынужденное напряжение на конденсаторе :

где .

Напряжение на конденсаторе имеет вынужденную и свободную составляющие:

Определим А из начальных условий. Так как при t=(0+), =0, то

Следовательно, напряжение на конденсаторе во время переходного процесса при воздействии на цепь гармонического изменяющегося напряжения равно:

Характер изменения зависит от соотношений и .

1.б) пусть в момент включения источника мгновенное значение напряжения на емкость равно 0.

Это имеет место при . При этом собственных процессов не возникает, в цепи сразу устанавливается стационарный режим:

_,

где

2.б) в общем случае , тогда существенно отличается от напряжения вынужденных колебаний. Так при , имеем (при большом τ_с , τ_с >>Т) напряжение изменяется по закону , но относительно кривой .

4.3)Разряд конденсатора на сопротивление.

Пусть в цепи RC с заряженным конденсатором С установливается режим короткого замыкания.

Так как при t>0 внешнего воздействия нет, то в цепи будут только собственный процесс (т.е. свободный режим). Поэтому . Определим А.

Так как конденсатор был заряжен, то в момент t=(0+) , тогда , А= .

Окончательно получим: .

Ток разряда

«-» ─ направление тока противоположно току заряда. Закон изменения и ─ экспоненциальный.

При разряде электрическая энергия конденсатора расходуется в виде тепловых потерь на сопротивлении.

ВЫВОДЫ

1. Переходные процессы в цепях описываются дифференциальными уравнениями. Порядок дифференциальных уравнений определяется количеством реактивных элементов L и C.

2. Классический метод решений дифференциальных уравнений. Переходный процесс складывается из свободной (или переходящей, временной) составляющей и вынужденной составляющей. Свободная составляющая зависит от типа цепи и для рассмотренных цепей имеет вид (или ). Вынужденная составляющая зависит от вида воздействия и представляет собой электрическую величину (i или u ) в установившемся режиме .

Цепь RC:

а) Реакция на скачок: i_в=I₀ , i_св=-I .

б) При синусоиде: ,

ЦЕПЬ RL:

а) Реакция на скачок: ,

б) При синусоиде: ,

(зависимость от угла как в цепи RL, только с противоположным знаком).

3. Законы изменения i, U_R, U_L, U_C ─ экспоненциальные при скачках входного напряжения.

4. При синусоидальном воздействии переходной процесс имеет адиттивный характер: гармонический процесс (вынужденная составляющая) накладывается на собственный процесс; если собственная составляющая равна 0, то имеет место только установившейся режим.

5. При разряде L или C энергия магнитного или электрического поля расходуется в виде тепла на сопротивление R.

Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов.

1. Сначала проводят анализ цепи до коммутации ─ определяют токи индуктивностей и напряжения на емкостях в момент времени, непосредственно перед коммутацией (t=0-).

2. Определение независимых начальных условий ─ токи индуктивностей (i_L) и напряжения на емкостях (U_C) в момент t=(0+) находят с помощью законов коммутации.

3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации (при ). Получают из системы уравнений для цепи (1-й и 2-й законы Кирхгофа) путем исключения всех переменных, кроме искомой.

4. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при ) ─ находят вынужденную составляющую реакцию цепи (для искомой величины).

5. Определение свободной составляющей искомой величины (реакции цепи) ─ решение однородного дифференциального уравнения: составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи.

6. Нахождение общего вида реакций цепи ─путём суммирования свободной и вынужденной составляющих.

7. Определение постоянных интегрирования ─ по начальным условиям, в начальный момент после коммутации.

8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям ─ подставить постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения.