- •Основы измерений в технике связи и стандартизации
- •Введение
- •1. Основные понятия метрологии Измерение, физическая величина, метод измерения, средства измерений, измерительный сигнал, характеристики измерительных сигналов, характеристики средств измерений
- •1.1 Основные метрологические термины
- •1.2 Классификация измерений
- •1.3 Средства измерения электрических величин
- •1.4 Характеристики средств измерений
- •1.5 Измерительная информация и ее характеристики
- •1.6 Эталоны единиц электрических величин
- •2.1 Классификация погрешностей измерений
- •2.2 Математическое описание случайных погрешностей
- •2.3 Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •2.4 Нормирование метрологических характеристик средств измерений
- •2.5 Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями
- •2.6 Оценка погрешностей косвенных измерений
- •2.7 Правила суммирования случайных и систематических погрешностей
- •2.8 Контроль и достоверность контроля
- •3.2 Измерительные генераторы
- •3.3 Анализаторы спектра
- •3.4 Измерители нелинейных искажений
- •4.1 Общие сведения
- •4.2 Источники погрешности цифровых измерительных приборов
- •4.3 Цифровые осциллографы
- •4.4 Цифровые частотомеры
- •4.5 Цифровые измерители сдвига фаз
- •4.6 Цифровые измерители емкости и сопротивления
- •4.7 Цифровые измерительные генераторы низких частот
- •4.8 Цифровые вольтметры
- •4.9 Цифровые ваттметры
- •4.10 Виртуальные приборы
- •5 Основы квалиметрии Показатель качества, методы определения показателей качества, объект стандартизации, стандарт, сертификация соответствия, схема сертификации
- •5.1 Измерение и оценивание качества
- •5.2 Государственная система стандартизации
- •5.3 Организация системы сертификации гост
- •Библиографический список
2.6 Оценка погрешностей косвенных измерений
При косвенных измерениях искомая величина А функционально связана с одной или несколькими непосредственно измеряемыми величинами x, y,…,t. Если искомая величина зависти от одной переменной, т. е. A=F(x), то приращение функции будет определяться как
A+ΔA = F(x+Δx).
Разложив правую часть этого равенства в ряд Тейлора и пренебрегая членами разложения, содержащими Δx в степени выше первой, получим
A+ΔA≈F(x)± или ΔA≈±
Относительная ошибка измерения функции определяется выражением
Если измеряемая величина А является функцией нескольких переменных A = F(x, y,…,t), то абсолютная погрешность имеет вид
(2.8)
Частные относительные погрешности косвенного измерения определяются по формулам
Относительная погрешность косвенного результата измерений
Пример 2.4. Требуется произвести косвенное измерение мощности. При этом имеются значения тока I и напряжения U, подтверждаемые прямыми измерениями. Пусть U = 220 В, I = 5 А, средние квадратические отклонения напряжения и тока составляют = 1 В и = 0,04 А соответственно. Будем полагать, что доверительная вероятность результата измерения Pд = 0,9944 и tp = 2,77. Расчет мощности будем производить по формуле P = U∙I = 220·5 = 1100 Вт. Тогда абсолютная погрешность измерения будет определяться выражением · tp. Находим значение абсолютной погрешности, полагая ΔU = и ΔI = : = 28,036. Следовательно, результат измерения мощности можно записать как P = 1100±28 Вт, Pд = 0,9944.
При сложной нелинейной функции A = F(x, y,…t), отыскание закона распределения погрешности результата связано со значительными математическими трудностями. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях приходится отказываться от использования интервальных оценок погрешности результата, ограничиваясь приближенной верхней оценкой ее границ.
Применив формулу (2.8), получим несколько простых правил оценивания погрешности результата косвенного измерения. Для простоты рассмотрим функцию с двумя аргументами: A = F( , ).
Правило 1. Погрешности в суммах и разностях. Если и измерены с погрешностями и и измеренные значения используются для вычисления суммы или разности , то суммируются абсолютные погрешности (без учета знака):
.
Правило 2. Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значения , и используются для вычисления или , то суммируются относительные погрешности , где .
Правило 3. Измеренная величина умножается на точное число. Если используется для вычисления произведения , в котором В не имеет погрешности, то .
Правило 4. Возведение в степень. Если используется для вычисления степени , то .
Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной переменной. Если используется для вычисления функции А(а), то
.
Вывод этих правил не приводится и может быть легко сделан самостоятельно. Использование правил позволяет получить не слишком завышенную оценку предельной погрешности результата нелинейного косвенного измерения при не слишком большом числе аргументов (менее 5).
Пример 2.5. Производится косвенное измерение электрической мощности, рассеиваемой на резисторе сопротивлением R = 75±4 Ом при падении напряжения на нем U = 8,6±0,01 В. Так как P=U2/R, то, применяя правила 2 и 4, получим δP = 2δU+δR = 2·0,001+0,053 = 0,055. Отсюда ΔP = P·δ = 0,986·0,055 = 0,054 Вт. Таким образом, рассеиваемая мощность равна 0,98±0,05 Вт.