2.3. Алгоритмы выполнения арифметических операций в различных сс

Алгоритмы выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной СС те же, что и в десятичной СС. Для выполнения арифметических операций "вручную" необходимо помнить таблицы сложения и умножения в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной СС.

В случае двоичной СС эти таблицы имеют вид:

0+0=0 00=0

0+1=1 01=0

1+0=1 10=0

1+1=10 11=1

Следует иметь в виду, что при выполнении операции вычитания занимаемая единица старшего разряда в данном соседнем младшем разряде превращается в 2, 8 или 16 соответственно в случае двоичной, восьмеричной или шестнадцатиричной СС.

Пример 6. Даны два числа в десятичной СС: Необходимо выполнить сложение и вычитание чисел в двоичной СС, проверить правильность выполнения арифметических операция.

Выполнив перевод чисел в двоичную СС по описанным выше правилам, получим: Теперь выполним операции сложения и вычитания в двоичной СС:

11011,01 11011,01

+ -

1101,1 1101,1

101000,11 1101,11

Таким образом,

Проверим правильность решений, выполнив перевод суммы и разности в десятичную СС:

= 12⁵+02⁴+12³+02²+02¹+02⁰+12^-1+12^-2=32+0+8+0+0+0+1/2+1/4=40,75;

=12³+12²+02¹+12⁰+12^-1+12^-2=8+4+0+1+1/2+1/4=13,75.

Решение выполнено верно.

Двоичная СС имеет следующие достоинства:

• простота аппаратурной реализации в ЭВМ с помощью элементов, имеющих два устойчивых состояния;

• простота алгоритмов выполнения арифметических операций.

Однако ей присущи недостатки:

• большая длина чисел с однообразными знаками 0, 1;

• неточность перевода дробной части десятичного кода числа в двоичный код числа.

Последний недостаток весьма существенный, т.к. он является источником ошибок вычислений на ЭВМ.

2.4. Комбинированные системы счисления

В вычислительной технике находят применение так называемые комбинированные СС: двоично-шестнадцатиричная, двоично-восьмеричная, двоично-десятичная. Алфавитом этих систем счисления является 0 и 1. Числа в этих системах образуются так: каждая цифра восьмеричного кода числа записывается двоичной триадой, т.е. тремя двоичными знаками, целая часть числа отделяется от дробной запятой. Недостающие разряды в последних триадах дробной части числа заполняются нулями, а в целой части числа отбрасываются. Так, например, если число в восьмеричной СС N₈=264,14, то в двоично-восьмеричной оно запишется следующим образом:

N_2-8= 010 110 100,001 100

2 6 4 1 4

Отбрасывая теперь не значащие нули в начале числа, и нули в конце числа, получим:

N_2-8= 10110100,0011.

При образовании чисел в двоично-десятичной и двоично-шестнадцатиричной СС каждая цифра исходного числа заменяется двоичной тетрадой, т.е. четырьмя двоичными знаками. Целая часть от дробной отделяется запятой. Примеры записи чисел в двоично-десятичной и двоично-шестнадцатиричной СС:

N₁₀=187,31; N_2-10= 1 1000 0111 , 0011 0001 ;

1 8 7 , 3 1

N₁₆=2B7,A5; N_2-16= 10 1011 0111 , 1010 0101 ;

2 B 7 , A 5

Комбинированные СС имеют ряд важных особенностей, что является основанием их применения в ЭВМ, а именно:

• простота алгоритма перевода чисел из двоичной системы счисления в двоично-десятичную и наоборот;

• число, записанное в двоично-восьмеричной или двоично-шестнадцатиричной СС, совпадает с его двоичным кодом, т.е. N₂=N_2-8=N_2-16;

• перевод дробного числа из десятичной СС в двоично-десятичную осуществляется без погрешности.

Недостатками этих систем являются:

• числа более длинные, чем в двоичной СС;

• алгоритмы выполнения арифметических операций в двоично-десятичной СС более сложные, чем в двоичной: выполнение арифметических операций внутри тетрады выполняется по правилам двоичной СС, а между тетрадами - по правилам десятичной СС.