3. Электрические цепи переменного тока

   0. 3.1 Основные определения

В электрической цепи переменного тока под действием периодической ЭДС

с периодом T, через некоторое время после начала её действия, устанавливаются периодические токи и напряжения с тем же периодом. Величина f = 1/T называется частотой, численно равна числу периодов в секунду и измеряется в герцах.

В электротехнике наибольшее распространение получили периодические ЭДС, напряжения и токи, являющиеся синусоидальными функциями времени t:

e = E_m sin(t+_e); u = U_m sin(t+_u); i = I_m sin(t+_i);

Здесь e, u и i – мгновенные значения, E_m, U_m и I_m – амплитудные, _e , _u и _I – начальные фазы, а  = 2^.^.f – угловая или циклическая час­тота.

Далее будем рассматривать только синусоидально изменяющиеся токи, напряжения и ЭДС.

Действующим значением синусоидального тока (ЭДС, напряжения) является значение такого постоянного тока (ЭДС, напряжения), который за время одного периода произведёт тот же тепловой эффект, что и синусоидальный ток. Действующее значение синусоидального тока (ЭДС, напряжения) обозначают прописными буквами: I (E, U).

В соответствии с определением действующего значения тока, приравняем количество тепла выделяемое этими токами - действующим I и реальным i, за период Т:

, откуда находим

действующее значение тока равно среднеквадратичному значению синусоидального тока

_{Подставляя сюда выражение для тока I = Im}^._{sin(ωt), получаем I = Im}^._√2

Отношение амплитудного значения к действующему называется коэффициентом амплитуды: К_А = I_m / I =

Наряду с действующими значениями, для синусоидально изменяющихся величин используются также их средние значения. Однако, так как отрицательная полуволна повторяет по форме положительную), то среднее значение синусоидально изменяющейся величины за период равно нулю. Поэтому под средним значением тут понимают среднее значение за половину периода:

Отношение действующего значения к среднему называется коэффициентом формы К_ф = I / I_ср = π/(2√2) = 1.11

На рис. 3.1 для одного периода Т изображены временные диаграммы - синусоидально меняющихся напряжения u(t) = U_m sin(t) (сплошная линия) и тока i(t) = I_m sin(t+_i); (штриховая), с параметрами

U_m= 100 В, I_m= 60 А, _u=0, _I = -0.5236 (30).

Рис.3.1

По оси абсцисс отложено t/(2π). Одному периоду соответствует t/(2π) = 1. Разность фаз напряжения и тока  = _u - _I называется углом сдвига тока относительно напряжения.

При  = 0 ток и напряжение совпадают по фазе, при  =   они в противофазе, при  =  /2 они в квадратуре. При 0 <  < /2 ток отстает от напряжения (или напряжение опережает ток) на угол , при -/2 <  < 0 - ток опережает напряжение.

В данном примере φ = 30^◦ , что соответствует отставанию тока от напряжения.

Мгновенная мощность в цепи переменного тока p(t) = u(t)^.i(t).

При анализе работы цепей синусоидального тока широко применяются векторные диаграммы, которые позволяют представлять результаты расчетов в простом и наглядном виде (Рис.3.2).

Их использование позволяет заменить сложение и вычитание синусоидальных

величин, сложением и вычитанием соответствующих векторов. Каждой синусоидальной величине ставится в соответствие вектор, длина которого, в масштабе построения диаграммы, равна действующему значению этой величины

(E, U, I). Угол отсчитывается от оси Х в положительном направлении (против часовой стрелки). Диаграммы строятся только для величин, меняющихся синусоидально с одинаковой угловой частотой .

Каждому вектору можно поставить в соответствие комплексное число (или точку на комплексной плос­кости), которое может быть записано в алгебраиче­ской, тригонометрической или показательной форме. Так току i(t) = I_m sin(t+_i), изображенному на Рис.3.2 вращающимся вектором I, соответствует комплексное число (выделено подчеркиванием): I = I_А+jI_R

Модуль тока I=I_m / и фазовый угол _i определяются его проек­циями на координатные оси Х и Y: ; tg(_i) = I_R/I_A ;

Уравнения, записываемые в соответствии с законами Кирхгофа для цепей переменного тока, по форме ничем не отличаются от аналогичных уравнений для цепей постоянного тока. Разница заключается в том, что если при анализе цепей постоянного тока мы оперируем скалярными величинами (действительными числами), то в цепях переменного тока, как исходными величинами, так и результатами расчетов являются векторы, которые могут быть представлены в комплексной форме.