Глава 1. Функции комплексного переменного. Их дифференцируемость и аналитичность
§1. Комплексная плоскость
Возьмём комплексную плоскость. Если отождествить любое комплексное число с некоторой точкой на плоскости (или вектором), можно получить геометрическую интерпретацию множества комплексных чисел на плоскости.
Определение.
Комплексная плоскость
- множество точек
,
соответствующих комплексным числам
с определёнными правилами действий над
ними.
Комплексная
плоскость является одной из моделей
множества комплексных чисел. В этой
интерпретации не все действия над
комплексными числами осуществимы, как,
например, деление
при
.Однако
это ограничение есть не во всех моделях.
Расширенная комплексная плоскость
Отождествим
плоскость
с комплексной плоскостью
,
совместив соответственно оси
и
,
и
.
Рассмотрим в системе координат
трёхмерную сферу
Римана с
центром в точке
радиуса
.
Имеем
- уравнение
сферы Римана
.
Точку
назовём северным
полюсом сферы
Римана
.
Определение.
Рассмотрим
соответствие
,
которое каждому комплексному числу
ставит в соответствие число
на сфере Римана, которое является
пересечением луча
с
(т. е. луча, соединяющего точки
и
).
Определение.
Введем бесконечно
удаленную точку (бесконечность)
,
соответствующую северному полюсу
при стереографической проекции
.
Видим,
что внешняя часть кругов бесконечного
радиуса на
соответствует всего одной точке
.
Обозначим
.
Геометрическая интерпретация –
окружность с центром в точке
радиуса
.
- открытый круг
- замкнутый круг
Определение.
-
-окрестность
точки
.
- проколотая
-окрестность
точки
.
Определение.
Точка
называется внутренней
точкой множества
,
если найдется
(«Целиком лежащая» в
).
Точка называется предельной точкой множества , если в любой её проколотой окрестности лежат точки множества .
Точка называется граничной точкой множества , если в любой её окрестности лежат точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие .
Совокупность
всех граничных точек множества
называется границей
множества
и обозначается
.
Множество называется открытым, если все его точки внутренние.
Множество называется замкнутым, если содержит все свои предельные точки.
Замыканием
множества
называется множество
,
содержащее все точки множества
и все его предельные точки.
Упражнение. Доказать, что граница любого множества является замкнутым множеством.
Доказательство:
Граница – замкнутая линия;
(замкнутость даёт наличие точки-соседа
для любой окрестности любой точки
границы). Видим, что все точки предельны,
все содержатся в
,
значит, любая граница – замкнутое
множество.
Определение. Множество на комплексной плоскости называется связным, если любые его 2 точки можно соединить непрерывной кривой, не выходящей за пределы множества.
Связное открытое множество называется областью.
§2. Числовые последовательности и ряды.
Рассмотрим
бесконечную последовательность
комплексных чисел
Утверждение.
Последовательность
сходится тогда и только тогда, когда
одновременно сходятся
и
.
Определение.
Число
называется пределом
последовательности
и обозначается
,
если
.
(То есть расстояние от элемента
последовательности до предела меньше
)
называется пределом
последовательности
,
если
.
(Окрестность бесконечности,
- заштрихованная область)
Видим, что сходимость последовательности комплексных чисел сводится к сходимости двух последовательностей действительных чисел.
Утверждение.
(Чтобы
последовательность КЧ сходилось к
конечному числу, должны сходиться модуль
и аргумент
-го
элемента)
Пример
1. Возьмём
последовательность
.
Какой бы радиус
мы не взяли, с некоторого номера в область
станут попадать элементы последовательности.
(
- видим, что каждый следующий элемент
всегда меняет значение аргумента,
последовательность не стремится к
какому-либо конкретному числу.
Упражнение
2. Доказать,
используя определение предела: а)
.
б)
.
в)
.
Доказательство.
а)
,
- условия равносильны,
выр-я эквивалентны.
б)
(Переобозначаем
)
- снова эквивалентные условия.
в)
-аналогично.
Аналогично вопросы сходимости рядов, составленных из комплексных чисел, сводятся к изучению сходимости рядов, составленных отдельно из действительных и мнимых частей.