6. Граничні та середні значення виробничих функцій

Якщо у = f(х₁, х₂ ) є певною ВФ, побудованою для дослідження заданого економічного процесу, то дріб

(i=1,2)

називається середньою продуктивністю і-го ресурсу (фактора виробництва), або середнім випуском за і-им ресурсом (фактором виробництва).

Для двофакторної ВФ Кобба-Дугласа стосовно середніх продуктивностей основно­го капіталу та праці були запроваджені терміни "капіталовіддача" - та "продуктивність праці" - .

Величини перших частинних похідних та називаються граничними продуктивностями відповідного ресурсу (фактора виробництва).

Для функції Кобба-Дугласа відповідно гранична фондовіддача та гранична продуктивність праці.

За означенням першої частинної похідної маємо:

Тобто відношення частинного приросту ВФ до приросту відповідного аргуме­нту показує, на скільки збільшиться обсяг виробництва за умови, що обсяг ви­трат i-го ресурсу збільшиться на одиницю, а обсяг витрат іншого ресурсу залишиться незмінним.

Відношення граничної продуктивності i-го ресурсу (фактора виробництва) до його середньої продуктивності називається частинною еластичністю і-го ресурсу (фактора виробництва):

.

Е_і показує зміну відносного обсягу випуску продукції при зміні відносних витрат i-го ресурсу.

Якщо заміри виконувати у відсотках, то дане відношення показує, на скільки відсотків зміниться обсяг випуску, якщо відносні витрати і -го ресурсу змі­няться на один відсоток за умови, що витрати іншого ресурсу залишаться незмін­ними.

Сума Е = Е₁+ Е₂ називається еластичністю виробництва.

В економічних дослідженнях досить часто виникає питання про можливість заміни одного ресурсу іншим за умови збереження обсягу виробництва.

Граничною нормою заміни (заміщення) i-го ресурсу (фактора виробництва) j-им за певних їх величин називається відношення R_ij:

(i, j =1,2)

за умови сталого значення у - величини ВФ.

і - номер того ресурсу, який замінюють;

j- номер ресурсу, яким замінюють;

нескінченно малі прирости dx_i та dx_j – незалежні.

Для двофакторної функції гранична норма заміни ресурсів R_1,2 наближено визначає, у скільки разів необхідно збільшити витрати другого ресурсу при зменшенні витрат першого ресурсу на одиницю, щоб забезпечити сталість виробництва.

Виконується співвідношення:

Тобто гранична норма заміни першого ресурсу другим дорівнює відношенню еластичності випуску продукції по першому і другому ресурсах, помноженому на відношення обсягу другого до обсягу першого ресурсу. Якщо названа умова не буде виконана, то, заміняючи обсяги ресурсів, не можна забезпечити сталість обсягів ви­робництва.

Для ВФ Кобба-Дугласа, якщо х₁=К, х₂=L, відношення називається капіталозабезпеченістю праці.

У цьому випадку гранична норма заміни основного капіталу працею дорівнює відношенню еластичності випуску за основним капіталом і пра­цею, поділеному на капіталозабезпеченість праці.

7. Врахування часу при розбудові виробничих функцій

Виробнича функція називається динамічною, якщо:

1. час t враховується як самостійна змінна, від якої залежить обсяг виробни­цтва;

2. параметри ВФ залежать від часу t.

Динамічні ВФ використовуються в основному для дослідження зміни контро­льованого показника з часом і для розбудови прогнозів його значень у майбутньому.

Якщо параметри ВФ визначалися за даними часових рядів (обсяги використо­вуваних ресурсів і продукції) на базовому проміжку в N періодів (місяців, кварта­лів, років), то горизонт прогнозу за таких умов з використанням відповідної ВФ недоцільно брати більш ніж на N/3 періодів.

При розбудові ВФ науково-технічний прогрес (НТП) іноді враховують шля­хом використання співмножника НТП, вибраного як , де параметр ρ характери­зує темп приросту обсягів виробництва за рахунок НТП:

Така структура ВФ є найпростішим зразком динамічної ВФ, коли вплив НТП оцінюється безпосередньо, а не опосередковано через виробничі фактори. У більш складних ситуаціях НТП впливає безпосередньо на виробничі фактори, в тому числі на продуктивність праці та віддачу капіталовкладень.

На підставі даних про розвиток економіки СРСР у 1960-1985 рр. (динаміка на­ціонального прибутку, чисельність зайнятих у матеріальному виробництві, обсяги основних фондів) ВФКД без урахування НТП була представлена так: . При підстановці фактичних даних К і £ за 1986 р. по­хибка прогнозу була 3%.

З урахуванням НТП ВФКД стосовно того ж проміжку часу має вигляд