10.5. Характеристики асиметрії та ексцесу.

Коефіцієнт асиметрії (скошеності) – розраховується через момент третього порядку і використовується для характеристики ступеня асиметричності ряду або щільності розподілу ймовірності випадкової величини X відносно її математичного сподівання.

Коефіцієнт асиметрії – безрозмірна величина:

Якщо - значне зміщення;

якщо - незначне зміщення;

– помірне зміщення.

Якщо графік скошений праворуч (правий схил пологий), то коефіцієнт асиметрії додатний ,

якщо ж він скошений ліворуч, то коефіцієнт від’ємний , а якщо графік симетричний, то коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю

Коефіцієнт гостровершинності (ексцесу) характеризує гострість вершини ряду,

тобто відхилення від нормального розподілу варіант з виступанням або падінням вершини кривої розподілу.

Він визначається через четвертий центральний момент і є безрозмірною величиною:

Властивості ексцесу:

1. Ексцес дорівнює нулю для нормального розподілу

2. Ексцес додатний для кривих більш гострої форми, ніж нормальна щільність розподілу – гостровершинність

3. Ексцес від’ємний для кривих менш гострої форми порівняно із нормальною щільністю розподілу – плосковершинність.

Для нормованого розподілу коефіцієнт гостровершинності .

Тема 11. Статистична оцінка параметрів розподілу

1. Загальне поняття вибіркового спостереження. Малі вибірки

Вибірковим називається таке спостереження, при якому дослідженню підлягає тільки частина одиниць сукупності, відібраних на основі науково розроблених принципів, що забезпечують одержання достатніх даних для характеристики всієї сукупності в цілому.

Суть вибіркового методу полягає в тому, що за знайденими значеннями вибіркової сукупності (вибірки) роблять певні висновки про значення відповідних характеристик генеральної сукупності , тобто характеристика виступає в якості оцінки (наближеного значення) параметра генеральної сукупності .

Генеральна сукупність – це загальна сукупність об’єктів, з яких проводилась вибірка, а вибіркова сукупність – це тільки частина одиниць генеральної сукупності, відібраних на основі науково-розроблених принципів.

Об’ємом (обсягом) сукупності (вибіркової чи генеральної) називається число об’єктів цієї сукупності.

Теоретичною основою вибіркового методу є закон великих чисел, згідно з яким відмінності між характеристиками генеральної та вибіркової сукупності можна зменшити шляхом збільшення об’єму вибірки.

Вибірковим методом вивчаються показники:

1. середня величина (середня продуктивність праці, середня врожайність);

2. частка одиниць, яким властиві певні особливості (частка зрошених земель, частка високопродуктивної худоби).

Відбір – це процес формування вибіркової сукупності в порядку випадковості.

Вибірка повинна правильно відображати генеральну сукупність, тобто повинна бути репрезентативною.

Згідно із законом великих чисел це буде тільки тоді, коли вона буде здійснена випадково, тобто коли всі об’єкти мають однакову ймовірність попасти у вибірку.

Методи відбору.

1. Випадковий (повторний і безповторний).

2. Механічний.

3. Серійний.

4. Типічний.

Малими вибірками називаються сукупності із 20-30 одиниць, вони дають значні неточності і тому їх результати коригують виправленим вибірковим середнім квадратичним відхиленням з використанням закону розподілу ймовірностей Ст’юдента,

де число ступенів «вільності» варіації, тобто кількість одиниць спостережень, здатних приймати будь-які (вільні) значення, які не змінюють середньої величини.

Помилка вибірки – це абсолютна величина різниці між відповідними вибірковою та генеральними характеристиками, тобто : помилка для середньої;

Середня (стандартна) помилка вибірка – це таке розходження між вибірковою і генеральною середньою , яке не перевищує розмір середнього квадратичного відхилення .

Формули середньої помилки вибірки:

1. при повторному методі відбору

для середньої ,

для частки

2. при безповторному методі відбору

для середньої ,

для частки ,

де n - об’єм вибірки,

N - об’єм генеральної сукупності

Теорією ймовірності доведено: твердження про те, що генеральні характеристики не відхиляються від вибіркових на величину більшу, ніж середня помилка вибірки , завжди має постійний ступінь ймовірності .

Але його можна підвищити взявши значення , тоді ймовірність твердження досягає відповідно рівнів і ,

тобто з 1000 випадків відповідно в 954 і 997 випадках вибіркові характеристики будуть відрізнятися від генеральних на величину обчисленої помилки вибірки, і тільки у решті випадків (46 і 3) відхилення генеральних і вибіркових параметрів можуть виходити за межі обчисленої помилки.

Максимально можливе розходження називається граничною помилкою вибірки.

Граничну помилку вибірки підраховують за формулою: ,

де нормоване відхилення, яке залежить від рівня ймовірності p, з якою гарантується гранична помилка вибіркової сукупності.

У великих вибірках , отриманих з нормального розподілу сукупностей, нормоване відхилення підкоряється закону нормального розподілу.

Тому, значення t знаходимо з таблиці “Значення інтеграла ймовірностей при різних значеннях t”, враховуючи рівність ,

де функція Лапласа.

У малих вибірках нормованне відхилення підкоряється закону розподілу t-Ст’юдента. Тому, значення t знаходимо із таблиці “Значення двохстороннього критерія t - Ст’юдента”, враховуючи число ступенів вільності .