4. Движение газа без скачков уплотнения

4.1 Исходные уравнения

Соотношения термодинамики. При больших скоростях течения газа, сравнимых со скоростью звука, изменение скорости приводит к изменению плотности. Такое движение изучается газовой динамикой.

Как известно из курса технической термодинамики, основные параметры состояния газа – давление p, плотность ρ и абсолютная температура Т связаны для идеальных газов уравнением состояния

, (4.1)

где R – газовая постоянная. Для воздуха, например, в системе СИ R = 287,1 дж/кгּград.

В большинстве задач, рассматриваемых газодинамикой, процессы изменения состояния газа можно считать адиабатными; из-за их быстротечности они осуществляются без теплообмена с окружающими телами. При адиабатном процессе давление и плотность связаны соотношением

, или , (4.2)

где – показатель адиабаты; и - теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме. Для воздуха и других двухатомных газов k = 1,4, для перегретого водяного пара k = 1,33.

Используя уравнение состояния, получим для адиабатного процесса формулы связи между давлением, плотностью и температурой:

; ; . (4.3)

В задаче о движении газа в длинной трубе без теплоизоляции стенок процесс изменения состояния принимается изотермическим: длительный контакт со стенками трубы приводит к тому, что температура газа не отличается от температуры стенки. Для изотермического процесса

.

Скорость звука. Число Маха(M). В 4.2 были получены общие формулы для скорости распространения малых возмущений в жидкости, а именно:

Процесс изменения параметров газа в звуковой волне, которая представляет собой распространяющиеся в газе слабые возмущения давления и плотности, следует считать адиабатным. Из уравнения (4.2) имеем:

; ; .

Подставляя последнее равенство в формулу для скорости звука, получаем

.

Используя уравнение состояния (4.1), введем в формулу для a температуру T:

.

В частности, для воздуха, подставляя величины k и R, имеем

[м/сек].

При температуре 15 последняя формула дает a = 340 м/сек.

Скорость звука – одна из важнейших механических характеристик газа. Законы его движения резко отличаются в зависимости от соотношения скорости газа w и скорости звука a.

Отношение

М

называется числом Маха. Течения, в которых w<a и M>1, называются дозвуковыми. Если w>a и M>1, течение сверхзвуковое.

Уравнение энергии. Рассмотрим установившееся одномерное движение газа. Если единственной внешней силой, действующей на газ, является сила тяжести, то такое течение описывается дифференциальным уравнением (2.11). Вследствие малой плотности газа допустимо пренебречь в этом уравнении членом, учитывающим изменение высоты струйки над плоскостью сравнения, так как для частицы газа сила веса пренебрежимо мала по сравнению с силами инерции и давления.

Уравнение (2.11) приобретает вид:

. (4.7)

Выражение (4.7) представляет собой уравнение энергии для газа, записанное в дифференциальной форме.

Считая течение адиабатным, выразим в последнем уравнении дифференциал давления через изменение плотности с помощью уравнения адиабаты (4.2):

; .

Подставляя уравнение в (4.7) и интегрируя вдоль струйки, получим уравнение энергии в интегральной форме, или уравнение Бернулли – Сен-Венана (1839):

. (4.8)

Уравнение Бернулли – Сен-Венана можно представить также по-иному. Разделив его члены на g, получим

const. (4.8а)

Сравнивая выражение (4.8а) с уравнения Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости (2.12а), видим, что отличие состоит в множителе

при пьезометрической высоте . Появление этого множителя, который для воздуха, например, равен , связано с тем, что в потенциальную энергию газа входит ещё и его внутренняя энергия. Иногда говорят, что в случае газа к пьезометрическому напору добавляется «температурный напор».

Выражая в уравнении энергии (4.8) отношение через уравнение состояния (3.1) , получим

const. (4.8б)

Последнее равенство показывает, что при отсутствии теплообмена с внешней средой увеличение скорости вдоль струйки приводит к падению температуры газа и наоборот.

Используя формулу для скорости звука (4.5), уравнение энергии (4.8) можно представить в виде:

const, (4.8в)

откуда ясно, что скорость движения газа и скорость звука взаимосвязаны: увеличение скорости течения приводит к уменьшению скорости звука. Вследствие адиабатного охлаждения она меньше скорости звука, соответствующей начальному состоянию газа, когда скорость равна нулю и температура наибольшая.

Выражение (4.8в) позволяет выяснить смысл постоянной в правой части уравнения энергии. Действительно, в покоящемся газе w = 0 и скорость звука достигает здесь своей наибольшей величины a₀. Следовательно, const и уравнение энергии может быть представлено в виде:

. (4.8г)

Наконец, если использовать понятие энтальпии, или теплосодержания, газа i ,рассматриваемое в термодинамике:

,

то уравнение энергии (4.8б) приобретает вид:

const. (4.8д)

Таким образом, потенциальная энергия газа выражается в различных формах уравнения энергии (4.8) – (4.8г) с помощью различных взаимосвязанных параметров – давления, температуры, скорости звука, энтальпии. Ниже показаны примеры применения уравнения энергии в различных формах записи для решения задач одномерного течения.