4.2.1 Описание задачи

Модель динамики объекта в форме Коши представляется системой ОДУ вида

= A Z(t) + B + (4.1)

где Z(t) – искомая вектор-функция координат (состояний) объекта размерностью n;

A – матрица постоянных коэффициентов размерностью ;

В = [b₁, b₂, …, b_n]^T – вектор управляющих воздействий;

– функция, реализующая закон управления;

– вектор-функция возмущающих воздействий;

Z⁽⁰⁾ – вектор начальных условий.

Необходимо исследовать динамику объекта на отрезке времени . В качестве начальных условий Z ( t₀ ) использовать один из собственных векторов матрицы A (соответствующий вещественному собственному значению и имеющий все ненулевые компоненты).

При этом считать, что объект функционирует в условиях стабильной помехи, т.е. , а функция, реализующая закон управления имеет вид = , где   – постоянный коэффициент.

В процессе выполнения лабораторной работы необходимо решить следующие задачи:

1. Определить начальные условия задачи.

2. Выбрать шаг моделирования и определить траекторию свободного движения объекта методом Рунге-Кутта.

3. Определить траекторию свободного движения объекта аналитическим методом.

4. Оценить точность решения, полученного методом Рунге-Кутта.

5. Методом Рунге-Кутта определить траекторию движения объекта в условиях действия помехи .

6. Подобрать значения параметров управляющего воздействия b₁, b₂,…, b_n+1, обеспечивающих изменение координат вектора состояний в заданном диапазоне , , где – соответственно минимальное и максимально допустимые значения i-й координаты состояния.

4.2.2 Определение начальных условий

Начальные условия задачи Z ( t₀ ) выбираются совпадающими с одним из собственных векторов матрицы A. Для определения собственных векторов матрицы необходимо предварительно вычислить собственные значения , являющиеся корнями характеристического уравнения

det ( A  – E ) = 0, (4.2)

где E – единичная матрица.

Собственные векторы , ,…, матрицы А являются решениями систем линейных алгебраических уравнений вида

(A - E) = 0, i = 1, 2,…, n

(4.3)

и определяются с точностью до постоянного множителя.

4.2.3 Определение траектории движения объекта

Движение объекта, описываемое уравнением (4.1) под воздействием возмущения и управления B называется вынужденным. Движение объекта при отсутствии возмущения и управления B называют свободным.

Для определения траектории движения объекта необходимо решить систему ОДУ (4.1) с начальными условиями Z(t₀ ) = Z⁽⁰⁾. Для решения задачи в работе рекомендуется использовать численное интегрирование системы ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

Представим исследуемую модель в виде = f(t, Z), где f – вектор-функция. Интервал исследования разбивается на частичные отрезки [t_k , t_k+1], k = 1, 2, ..., m – 1 с шагом h. Состояние системы в момент времени t_k+1 определяется исходя из состояния в момент времени t_k

Z^(k+1) = Z^(k) + Z^(k), k = 1, 2,…, m – 1, (4.4)

где Z^(k) определяется по соотношению

Z^(k)  = ( ) / 6;

= h f ( t_k , Z^(k) ); = h f ( t_k + h/2, Z^(k)+ /2 );

= h f( t_k + h / 2, Z^(k) + / 2 ); = h f ( t_k + h, Z^(K) + ).

Шаг решения h выбирается исходя из задаваемого значения допустимой погрешности , с учетом соотношения  ~ h⁵. Уточнение размера шага производить путем сравнения результатов расчета траектории с обычным и половинным его значением.