- •Группа рм
- •Группы рн и рм7
- •Статистическая физика Основные положения
- •Основы теории вероятностей Вероятность случайного события
- •Характеристики случайной дискретной величины Среднее значение величины
- •Свойства среднего
- •Относительная флуктуация
- •Характеристики случайНой непрерывНой величиНы
- •Биномиальное распределение
- •Условие нормировки
- •Распределение Пуассона
- •Условие нормировки
- •Среднее значение
- •Дисперсия
- •Производящая функция
- •Средние значения и дисперсия
- •Примеры
Условие нормировки
,
использован бином Ньютона
.
Исаак Ньютон (1642–1727)
Среднее число частиц в объеме V
,
где учтено
; .
Замена и бином Ньютона дают
=
= .
Результат
(1.15)
очевиден, поскольку – средняя концентрация.
Из (1.15) вероятность признака у одного элемента
. (1.16)
Из биномиального распределения получаем – если в некотором состоянии наблюдается в среднем частиц, то вероятность наблюдения n частиц равна
, (1.17)
причем
, (1.17а)
. (1.17б)
График распределения
а б
Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б) для N = 10, , р = 0,45
Распределение Пуассона
Считаем вероятность появления признака у одной частицы малой и общее число частиц большим . Тогда, если признак имеют в среднем частиц, то его вероятность для n частиц
. (1.18)
Результат получил из биномиального распределения Пуассон в 1837 г.
Симеон Дени Пуассон (1781–1840)
Доказательство:
Записываем биномиальное распределение (1.17)
,
где учтено
.
При используем
,
,
,
и получаем (1.18).
Условие нормировки
Используем
N – велико, , ,
получаем
.
Частные и рекуррентные соотношения
,
,
,
. (1.18а)
График распределения
а б
Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б) для N = 10, , р = 0,45
нормальное распределение Гаусса
При и относительно малом отклонении от среднего выполняется нормальное распределение
. (1.19)
Резултат получил Гаусс в 1809 г.
Карл Фридрих Гаусс (1777–1855)
Доказательство:
Распределение Пуассона
логарифмируем
.
Используем формулу Стирлинга (будет доказана в курсе ММФ)
, при ,
,
тогда
.
Учитывая
, ,
разлагаем в ряд
.
В результате
.
Заменяя и потенцируя, получаем (1.19).
Условие нормировки
На основании считаем n квазинепрерывным, тогда
– плотность вероятности,
Условие нормировки получает вид
,
где
;
при ;
;
учтено
.
Среднее значение
,
,
,
где
.
Дисперсия
,
где
, ,
и учтено
.
В результате
. (1.20)
Из (1.19) и (1.20) плотность вероятности
. (1.21)
Распределение Гаусса,
Центральная предельная теорема – при суммировании большого числа независимых случайных величин, имеющих различные распределения, результирующее распределение близко к распределению Гаусса.
Теорема обосновывает применимость нормального распределения к многочисленным случайным процессам. Теорему доказал Ляпунов в 1901 г.
Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918)