§2.6. Преобразование лапласа

Во многих случаях исследование радиотехнических цепей упро­щается и становится более наглядным, если при этом применяется преобразование Лапласа.

Преобразованной по Лапласу функцией /(/) вещественной пе­ременной времени / называют новую функцию F(s) от комплекс­ной переменной s, причем

Это выражение называют интегралом Лапласа. Комплексную пе­ременную

(2.5.11)

называют комплексной частотой, или для краткости просто часто­той. Часто вместо s применяют букву р. Аргументацию в пользу применения s вместо р см. в [3].

Чтобы интеграл сходился, нужно, чтобы /(/) возрастала при a<s не быстрее, чем

(2.5.11)

Экспоненциальная функция времени — достаточно общая функция, с помощью которой можно представить напряжение, воздействую­щее на электрическую цепь, например постоянное или синусои­дальное.

Применим преобразование Лапласа к экспоненциальной функ­ции (2.5.11). Подставляя в интеграл Лапласа (2.94) экспоненциаль­ную функцию (2..5.11), находим

(2.5.12)

В частном случае а = 0, что соответствует включению в момент t — О единичного скачка напряжения.

Единичный скачок напряжения можно обозначить:

Для единичного скачка

(2.5.13)

Исходная (преобразуемая) функция f(t) называется оригиналом, а преобразованная функция F(s) — изображением.

Оригиналы функций и их изображения приведены в табл. 2.1, называемой таблицей соответствий оригиналов и изображений.

Отсюда следует, что

Заменяя /со на s, получаем

Пример. Для интегрирующей цепи (см. рис. 2.4.1):

Согласно (2.5.13) или строке 2 таблицы соответствий

Следовательно,

Согласно строке 5 таблицы соответствий находим

§2.7. Логарифмические характеристики

В радиоэлектронике для сравнения мощностей широко приме­ряется логарифмическая единица, называемая децибелом, (дБ).

Приемное устройство нередко должно обеспечивать усиление мощности в 10¹⁴—10²³ раз. Это соответст­вует усилению на 140—230 дБ. Если общее усиление приемника или усилителя равно произведению коэффициентов усиления от­дельных каскадов, то общее усиление в децибелах равно сумме усилений отдельных каскадов в децибелах.

В радиоэлектронике мощности редко измеряются непосредст­венно. Чаще всего измеряются не мощности, а напряжения с помощью электронных вольтметров. Мощности про­порциональны квадратам напряжений или токов.

Это справедливо лишь в том случае, когда сравниваются напря­жения (или токи) на одинаковых сопротивлениях. Например, это равенство имеет смысл при сравнении двух выходных напряжении одного и того же усилителя, выходных напряжений двух усили­телей при одинаковых сопротивлениях нагрузок, а также выходно­го и входного напряжений усилителя при равенстве сопротивлений на входе и выходе.

В децибелах принято измерять не только усиление, но и зату­хание, т. е. ослабление, например, помех или фона. В этом случае перед числом децибел ставят знак «минус», так как напряжение помех или фона U₂ должно быть меньше напряжения сигнала U₁. Кроме децибела иногда применяется другая логарифмическая единица — непер. В неперах принято измерять затухание в элект­рических линиях. Например, если напряжение в начале линии рав­но l/i, а в конце линии С/г, то затухание, выраженное в неперах,

a = ln(Ј/i/C/₂),

где основание логарифма е = 2,71828...

Следовательно, если напряжения отличаются друг от друга на 1Нп, это означает, что одно из них в е раз больше (или меньше) другого. Учитывая, что log = 0,4343, и умножая это число на 20, получаем 1 Нп = 8,686 дБ.

Удобство применения логарифмических единиц (децибелов и неперов) связано с тем, что органы чувств человека, такие как слух и зрение, имеют логарифмические характеристики. Например, сравнительная громкость двух звуковых колебаний одной часто­ты, ощущаемая ухом, пропорциональна логарифму отношения мощностей этих колебаний.

Удобство применения свя­зано также с очень большим ' диапазоном изменения амплитуд сигналов, используемых в радиоэлектронике.

Для построения ампли-тудно- и фазочастотных ха­рактеристик применяются логарифмическая и полуло­гарифмическая шкалы. На оси абсцисс наносятся деле­ния, соответствующие лога­рифмам частот или их отно­шениям, По оси ординат откладываются усиление (ослабление) в децибелах и фазовый сдвиг в градусах.