22. Задача по теме «Прямоугольник».

    Стороны прямоугольника равны 5 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите длины этих частей.          

23. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

    Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего           катета к прилежащему:           о           Примеры.           1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите:           а) гипотенузу с и катет Ь, если даны катет а и противолежащий ему угол а;           б) гипотенузу с и катет а, если даны катет ь и прилежащий к нему угол а (рис. 20).                     2. Под каким углом падает на землю луч солнца, если вертикально воткнутый в землю шест возвышается над землей на 18 м и отбрасывает тень, равную 6 73 (рис. 21)?           Обозначим длину шеста через а, длину тени шеста через Ь, а угол, под которым на землю падает луч солнца, через а.          

24. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

    В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.           Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22).           Доказать: CD — биссектриса и высота.           Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).           Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:                     Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.           Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения:           1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.           2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

25. Задача по теме «Подобие треугольников».

    

26. Задача по теме «Ромб. Квадрат».

    Докажите, что в ромб можно вписать окружность.           Дано: ABCD — ромб, О — точка пересечения диагоналей ромба.           Доказать: О — центр вписанной окружности.           Доказательство. Треугольники ABO, ADO, CBO и CDO — прямоугольные (так как ABCD — ромб) и равны по гипотенузе и катету. Следовательно, и высоты OF и ОЕ проведенные из вершин пря мых углов, равны. Значит, основания высот лежат на окружности с центром О. Так как высоты, проведенные из вершин прямых углов, перпендикулярны сторонам ромба, то окружность с центром О — точкой пересечения диагоналей ромба — и радиусом, равным расстоянию от точки О до сторон ромба, касается сторон ромба. Следовательно, в ромб можно вписать окружность.          

27. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.

    Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов катетов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.