операційне числення Слинько 2011

f p t f t ,

2 2

f p 1 t f t ,

.......... .......... .......... .......... ......

		n		n	t	n	f t ,
	f
			p 1

.......... .......... .......... .......... .......

тобто диференціюванню зображення відповідає множення його оригіналу на ( t) .

Приклад

Знайти зображення функції

f t t 2

et .

Розв’язання

Маємо et

1

.

p 1

На підставі диференціювання зображення

1

1

tet ,

t et .

звідси

p 1 2

p

1

1

2!

t tet ,

Дальше

або

t 2et .

2

3

p

1

p 1

Інтегрування оригіналу

t

f p

Якщо f t

f

p , то f d

,

0

p

тобто інтегруванню оригіналу від 0 до t відповідає ділення його зображення на p .

Приклад

t

Знайти зображення функції f t cos2 a d .

0

Розв’язання

11

Маємо

cos2 at

1

1

cos2at

1

1 cos2at

2

2

2

1

p

1

;

cos2at

.

p2 4a2

p

На підставі властивості інтегрування оригіналу:

1

p

t

2

1

t

p

2

4a

2

cos

a d

1 cos2a d

1 p

, або

p

0

20

2

t

2 a d

p2

2a2

cos

p2 p

2 4a2

0

Інтегрування зображення

f t

p і

інтеграл f d

Якщо

f

збігається, то

p

t

f d

f

,

до відповідає

тобто інтегруванню зображення від

p

t

ділення його оригіналу на

t .

Приклад.

Знайти зображення функції

sint

.

t

Розв’язання.

1

Відомо , що

sin t

.

2

1

Тому

sin t

d

b

d

b

lim

lim arctg |p

t

2

2

p

1

b

p

1 b

lim

arctgb arctg p

arctg p arctg p.

2

b

(Для

функцій ln z ,

arctgz

тощо

ми

беремо

їх

головні вітки, для яких

ln1 0,

arctg1

тощо ).

4

12

	Знаючи зображення функції Хевісайда t		1
				, можна за

допомогою наведених вище властивостей побудувати таблицю зображень функцій .

Таблиця

Таблиця зображень основних елементарних функцій

Номер					Номер
	Функція	Зображення				Функція Зображення
1			1		10
		1
			p
2					11
3					12
4					13
5					14
6					15
7					16
8					17
9

Формули для перетворення тригонометричних виразів :

	1.	cos2	1	1 cos2 ,	sin 2	1	1 cos2
			2			2

2.sin sin 21 cos cos

3.cos cos 12 cos cos

4.sin cos 12 sin sin

5.Гіперболічний синус

sh t eat e at

2

6. Гіперболічний косинус

ch t e t e t

2

13

7. Синус

sin t ei t e i t 2i

8. Косинус

cost ei t e i t 2

3. Знаходження зображень функцій.

За допомогою властивостей перетворення Лапласа та таблиці зображень можна знайти зображення більшості функцій , які зустрічаються на практиці.

Приклади.

Знайти зображення для функцій :

1). f t sin 3 t

Розв’язання.

За формулою Ейлера маємо:

eit cost isin t

-

e it

cost isin t

eit e it

2i sin t

sin t

eit e it

,

2i

Отже,

eit e it

3

1

e3it

3eit 3e it e 3it

1

3 eit e it

e3it e 3it

3

1

sin 3 t

sin t

sin t.

3

2i

8i

4

2i

2i

4

4

Використовуючи властивість лінійності і формулу 6 таблиці знаходимо

		3		1				1		3		6
	sin 3 t													.
		4		p 2	1			4		p 2 9		p 2 1 p 2 3

2) f t t 2 cos 2t

14

Розв’язання.

За формулою Ейлера маємо

cos 2t

e2it e 2it

,

тоді t 2 cos t

t 2

e2it

e 2it

t 2 e2it

t 2 e 2it

.

2

2

2!

2!

За формулою 4 таблиці будемо мати

1

1

p

3

6 p

2

i 12 pi

2

8i

3

p

3

6 p

2

i 12 pi

2

8i

3

t 2

cos 2t

p 2i 3

p 2i 3

p 2i p 2i 3

2 p3 24 p

p2 12

=

2

.

p2 4 3

p2 4 3

3)f t t ch2t.

Розв’язання.

Так як то маємо

ch2t	e2t e 2t
		,
	2
	t ch2t		t	e 2t e 2t	1	te 2t te 2t .
			2		2

Використовуючи формулу 4 таблиці, маємо

	1			1				1						1				p 2	4 p 4 p 2 4 p 4							p 2 4
tch2t																													.
	2			2			p 2							2							p			4		p		4
		p			2					2													2				2
																								2				2
4). f t e t cos at
Розв’язання.
За формулою Ейлера
									cos at								eiat		e iat
																						,
																			2
тоді маємо
				e t cos at					e t			eiat		e iat						1	e ia 1 t e ia 1 t .
								2												2

Використовуючи формулу 11 таблиці, одержимо

15

	1		1
e t cos at
	2
		p ia 1

1				1	p ia 1 p ia 1										1		2 p 2						p 1
																										.
							2		2		2								2		2		2		2
p ia 1				2		p 1		i		a					2		p	1		a				a
																							p 1

5). f t shat cosbt

Розв’язання.

Використаємо формулу Ейлера

	Sht	eat e at
			, тоді
		2

За формулою 11 таблиці маємо

		eat		e at
	Shat cos bt		cos bt		cos bt
		2		2

1

p a

p a

1

p a p a 2 b2 p a p a 2 b2

Shat cos bt

2

p a

2

p a

b

p a b

2

p a

b

b

1

2ap 2 2a3 2ab2

a p 2 a 2 b2

p a 2 b2

p a 2 b2

p a 2 b2 p a 2 b2 .

2

6)f t et cos t

Розв’язання

Маємо

et cos t e2t 1 cos 2t 12 et et cos 2t .

За формулами 3 і 11 таблиці одержуємо

			1			1			p 1
			et cos2 t
									2
			2
					p 1				p 1 4
	1		p 1 2 4 p 1 2						p 1 2 2
=			p 1 p 1 2 4						p 1 p 1 2 4 ,
	2

16

Тобто

	p2 2 p 3
et cos2 t			.
	p 1 p2
		2 p 5

7) f t et 1 t

Розв’язання

Відомо, що

							et										1					1					1
									1																								.
																											p p 1
																	p 1 p
Тому
	et 1				d													d													b							d
																											lim
	t	p 1																1			2			1				b										1		2				1
																		2						4														2						4
							1					b										b 1												1
		lim ln												lim															ln
																					ln
		b															b									b
				ln 1							ln																	et 1
																					, тобто										ln										.
																1													t
																																								1

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти зображення по даним оригіналам

1)f t Shat sin bt;

2)f t Chat cos bt;

3)f t tShbt;

4)f t te t Sht.

Відповіді

17

2 pab

f

1)

p a 2 b2 p a 2 b2

;

p p2 a2 b2

f p

2)

p a 2 b2 p a 2 b2

;

p2 b2

f p

3)

;

p2 b2 2

p

2 p 1

4)

f

.

p2 p 2 2

4. Знаходження оригіналу по зображенню

Розглянемо дві теореми, які називаються теоремами розкладання і дозволяють по заданому зображенню знайти відповідний йому оригінал.

Теорема 1.
Якщо функція f p в околі точки	p може бути представлена у

вигляді степеневого ряду з від’ємними степенями

p та ненульовим радіусом

збіжності

Cn

C0

C1

C3

p

,

f

pn 1

p

p2

p3

n 0

то функція

t

n

C2t

2

f t Cn

C0 C1t

t 0

n!

2

n0

є оригіналом, зображенням якого є функція

Cn

t

n

f

p

Cn

f t .

pn1

n0

n0

n!

18

Приклади

Знайти оригінали f t

				p						1		sin							1
1)		f
										p										p
Розв’язання
																														p
Розкладемо функцію																										f														в степеневий ряд
														1									1											1								1									1												1								1					1
						f p
																		sin
																																																																	3												5
														p										p											p								p								3!												p								5!					p
																						1														1							1													1								1
																																											p4
																							p2											3!																					5!										p6
Отже, на підставі Теореми 1
											f t t														1									t3											1								t5																								t 0
																									3!									3!								5!									5!
												p
2)		f p
										p		2 1
Розв’язання
									p											p																									p																							1									1
							f
															p2 1																																				1																	p											1
																																		p2 1																																						1
																																																							2																										2
																																																			p																													p
								1						1																						1										1																	1																1
	1
					1																																																															, де																		1, тобто
										2						4																																		3														5																		2
								p						p																							p									p																	p																	p
	p

p 1.

Отже,

19

f t 1	t 2		t 4		, тобто	f t cos t, t 0.
2!		4!

Теорема 2.

Якщо зображення є дробово – раціональною функцією

p

u p

,

u p і

v p - многочлени від p, відповідно

f

де

v p

степені m і n, причому m < n, знаменник v p має прості корені

p1, p2 , , pn , то

u p

n u p

p

t

f p

e

j

v p

j 1 v

p j

Якщо корені знаменника v p

p1, p2 , , pm

відповідно кратності

k1, k2, , km

k1 k2

km n ,

то оригінал визначається за

формулою

f t

1

d k1 1

p p k1

p e pt

lim

f

k1 1 ! p p1 dpk1 1

1

1

d k2 1

p p

k2

p e pt

lim

2

f

k2 1 ! p p2 dpk2 1

1

lim

d km 1

p p

km f p e pt

m

km 1 ! p pm dpkm 1

m

1

d k 1

p p j k j

p e pt .

lim

f

k

1

1 ! p p j dpk 1

Приклади

Знайти оригінали по зображенню

p 1

1). f p

p2

p 1 p 2

20