Приближённое интегрирование функций

Общие замечания.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна её первообразная F(x), то определённый интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона- Лейбница

, (1)

где F′(x) = f(x).

Однако во многих случаях первообразная функция F(x) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определённого интеграла по формуле (1) может быть затруднительным или даже практически невыполнимым.

Кроме того, на практике подынтегральная функция f(x) часто задаётся таблично или графически. Поэтому важное значение имеют приближённые и в первую очередь численные методы вычисления определённых интегралов.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определённого интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции.

Обычный приём при численном вычислении однократных интегралов.

Отрезок [a, b] разбивают на части (чаще всего равные) точками х_j ( j =) так, что a = x₀ < x₁ < x₂…< x_n= b, и в узлах х_j находят значения у_j = f(x_j). Функцию f(x) заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией простого вида (например, полином) такой, что она легко интегрируется.

Мы получаем квадратурные формулы:

, (2)

где х_j − выбранные узлы интерполяции,

А_j − коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции, R − остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.

1) Интегрирование по методу прямоугольников.

Метод прямоугольников − простейший приём численного интегрирования, при котором функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом

нулевого порядка. Интервал интегрирования [a,b] делится точками х₀, х₁, …, х_n на n равных частей (рис. 1), причём х₀ = a, x_n= b, длина каждой части составляет h = (b-a)/n, и тогда x_i = x₀+ih, i = 0, …, n.

Из каждой точки х проведём перпендикуляр до пересечения с кривой f(x),

а затем заменим кривую подынтегральной функции ломаной линией, отрезки которой параллельны оси абсцисс.

Рис.1. Геометрическая интерпретация интегрирования по методу прямоугольников.

Площадь полученной ступенчатой фигуры можно найти как сумму площадей прямоугольников, стороны которых равны h и у_i. Следовательно, площадь отдельного прямоугольника составит

S_i = y_i∙h,

тогда

Следовательно, формула вычисления определённого интеграла по методу прямоугольников имеет вид:

(3)

Остаточный член имеет вид:

(4)

2) Интегрирование по методу трапеций.

Метода трапеций заключается в линейной аппроксимации f(x) на отрезке [a,b]. Участок интегрирования также разбивается на n равных частей. Если провести ординаты во всех точках деления и заменить каждую из полученных криволинейных трапеций прямолинейной (рис.2), то приближённое значение интеграла будет равно сумме площадей прямолинейных трапеций.

Рис. 2 Геометрическая интерпретация интегрирования по методу трапеций.

Площадь отдельной трапеции составляет: ,

Тогда площадь искомой фигуры будем искать по формуле:

.

Следовательно, формула трапеций для численного интегрирования имеет вид:

(5)

Остаточный член имеет вид

(6)

На практике для оценки абсолютной погрешности формулы трапеций применяют следующие соотношения:

1. , (7)

При этом, как правило, получают для завышенную оценку.

2. Правило Рунге (n − чётное) даёт более тонкую оценку :

(8)

Но при этом может получиться для заниженная оценка, чего следует опасаться.