С.) Метод Рунге-Кутта. (4го порядка)

Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод 4^го порядка

(14)

(15)

Грубая оценка погрешности (двойной просчёт): (16)

Где у(х_i) – точное решение, у^*_i – приближённое решение с шагом h/2, y_i – … с шагом h _.

Для оценки правильности выбора шага h используют равенство:

(17)

q должно равняться нескольким сотым, иначе h уменьшается.

D). Метод Рунге–Кутта 3-го порядка

 

Многошаговые методы.

(используют информацию о нескольких предыдущих точках)

Д ) Алгоритм Адамса.

Пусть дано дифференциальное уравнение: у′ = f(x, y) (1)

с начальными условиями: у(х₀) = у₀ (1*)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a,b].

Разобьём отрезок [a,b] на n равных частей точками х_i = х₀ + ih (i =0, 1, …, n).

1^ый этап: стартовая процедура. Используют какой-либо одношаговый метод того же порядка точности до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода.

Следовательно, определены: у₁, у₂, …, у_k-1 в точках: х₀ + h, …, x₀ + h(k-1).

2^ойэтап: рекурсивной процедуры. Определение: у_k, y_k+1,…, y_n основано на интегрировании интерполяционного многочлена Ньютона.

Рабочие формулы явных методов Адамса (2-го, 3-го, 4-го порядков).

(2)

(3)

(4)

Формулы (2)-(4) называются экстраполяционными и на практике используются в качестве прогноза.

Для улучшения точности или коррекции результата применяют неявные методы (используют ещё ненайденные значения: у_k+1, y_k+2,…).

(5)

(6)

(7)

Формулы (5)-(7) называются интерполяционными.

Для грубой оценки точности (двойной просчёт):