Постановка задачи.

Дано дифференциальное уравнение первого порядка: у′ = f(x,y) (1).

Требуется найти решение этого уравнения на отрезке [x₀, x_max], удовлетворяющее начальным условиям: у(х₀) = у₀ (2).

В вычислительной практике более предпочтительным являются численные методы нахождения приближённого решения в фиксированных точках: х₀<x₁<…<x_n=x_max.

Большинство численных методов решения задачи (1) с начальными условиями (2) можно привести к виду: (3).

― при r = 1, а₁ = 1, b₀ = 0 методы вида (3) называются одношаговыми ( чтобы найти y_i+1

требуется информация только о предыдущей точке (x_i, y_i)).

― при r > 1 и b₀ = 0 ― явными многошаговыми.

― при r > 1 и b₀ ≠ 0 ― неявными многошаговыми.

Многошаговость нарушает однородность вычислительного процесса, используя для получения недостающей информации другие вычислительные схемы ( например, одношаговые).

А) Метод Эйлера.

х	x0	x1	…	хn
y	y0	y1	…	yn

Для решение Д.У.(1) с Н.У. (2) на отрезке [x₀, x_max] по методу Эйлера, таблица приближённых значений у(х) для равноотстоящих узлов:

строится по формулам: y_k+1 = y_k + h∙f(x_k,y_k)

x_k+1 = x_k + h, k = 0,…,n-1, h=(x_n-x₀)/n (4)

Абсолютная погрешность формулы (4) на каждом шаге имеет порядок h²

(5)

Формула (4) означает, что на отрезке [x_k, x_k+1] интегральная кривая y = y(x) приближённо заменяется прямолинейным отрезком, выходящим из точки М(х_k;у_k) с угловым коэффициентом f(х_k;у_k). В качестве приближения искомой интегральной кривой получаем ломаную линию с вершинами в точках М₀(х₀;у₀), М₁(х₁;у₁),…, М_n(х_n;у_n). Первое звено касается истинной интегральной кривой в точке М₀(х₀;у₀).

Метод Эйлера может быть применён к решению системы ОДУ и ДУ высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе ОДУ первого порядка.

Пусть задана система ОДУ первого порядка: (6)

с начальными условиями: у(х₀) = у₀, z(х₀) = z₀ (7)

Приближённые значения у(х_i) ≈ y_i, z(х_i) ≈ z_i вычисляются по формулам:

(8)

Метод Эйлера обладает двумя существенными недостатками:

1) малой точностью (метод первого порядка точности);

2) систематическое накопление ошибок.

В) Модификации метода Эйлера.

1Ый усовершенствованный метод Эйлера.

Сначала вычисляют промежуточные значения:

(9)

А затем полагают: (10)

2Oй усовершенствованный метод Эйлера.

Сначала определяют «грубые приближения»: (11)

И приближённо полагают: (12)

Локальная погрешность на i-ом шаге: . Оценка погрешности в точке х_n может быть получена с помощью двойного просчёта (с шагом h и h/2):

(13)