4.Касательное и нормальное ускорения.

У скорение точки можно разложить на тангенциальное , направленное по касательной к траектории и характеризующее изменение величины скорости, и

нормальное , направленное по главной нормали к центру кривизны С траектории и определяющее изменение направления .

Так как в естественных осях траектории скорость может быть представлена в виде , то, дифференцируя это соотношение по времени, получим ускорение

, Касательное ускорение (проекция ускорения точки на касательную) равно первой производной от величины скорости от времени.

Нормальное ускорение

Абсолютная величина может быть определена по формуле

.

5.Равномерное и равнопеременное движения точки.

точки - движение, при к-ром касат. ускорение w _т точки (в случае прямолинейного движения полное ускорение w )постоянно. Закон Р. д. точки и закон изменения её скорости u при этом движении даются равенствами: где s - измеренное вдоль дуги траектории расстояние точки от выбранного на траектории начала отсчёта, t- время, s₀ - значение s в нач. момент времени t = = 0. - нач. скорость точки. Когда знаки u и w одинаковы, Р. д. является ускоренным, а когда разные - замедленным.

При поступат. Р. д. твёрдого тела всё сказанное относится к каждой точке тела; при равномерном вращении вокруг неподвижной оси угл. ускорение e тела постоянно, а закон вращения и закон изменения угл. скорости w тела даются равенствами

где f - угол поворота тела, f₀ - значение f в нач. момент времени t = 0, w₀ - нач. угл. скорость тела. Когда знаки w и e совпадают, вращение является ускоренным, а когда не совпадают - замедленным.

Равномерное движение-движение точки, при котором численная величина ее скорости постоянна.

6.Плоское движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек. Плоским или плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости Р.

Уравнения плоского движения определяют движение полюса и поворот тела:

Основными кинематическими характеристиками являются скорость и ускорение полюса, а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения.

Скорость любой точки фигуры при ее плоском движении равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки относительно полюса.

Скорость точки В:

АВ ,где − скорость полюса; - скорость точки В при вращении вокруг полюса А;  − угловая скорость тела .

7.Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей. Теорема о проекциях скоростей

Проектируя обе части равенства : ,

на линию АВ и учитывая, что вектор перпендикулярен к АВ, находим:

,Тогда

Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу.

Тогда: V_B= V_A cosα /cosβ

Угловая скорость и угловое ускорение одинаковы для всех точек тела. Угловую скорость ω можно найти, если определены проекции скоростей т. А, В на ось Y, перпендикулярную к оси X, которая проходит через т. А, В − V_AY, V_BY

V_AY=V_Asinα; V_BY= V_B sinβ.

Угловая скорость тела:

Мгновенный центр скоростей

Скорость любой точки фигуры при ее плоском движении можно найти с помощью мгновенного центра скоростей (точки сечения, скорость которой в данный момент времени равна нулю). Положение мгновенного центра скоростей определяется как точка пересечения перпендикуляров к векторам скоростей двух точек тела. Угловую скорость тела ω можно найти из соотношения.

здесь т. Р − мгновенный центр скоростей, АР и ВР − расстояния от точек до мгновенного центра скоростей.

П осле того как положение мгновенного центра скоростей (т. Р) найдена, скорость любой точки тела определяется как вращательная скорость вокруг т. Р:

8.Сложение скоростей при сложном движении точки. Сложение скоростей.

Рассмотрим точку М, совершающую сложное движение. Пусть эта точка, двигаясь вдоль своей относительной траектории АВ, совершает за промежуток времени относительное перемещение, определяемое вектором ММ (рис. .

Теорема о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Если угол между направлениями векторов v_отн и v_neр равен α, то по модулю:

v_а²=v_отн²+v_neр²+2 v_отнv_neрcosα

9.Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение движения, угловая скорость и угловое ускорение. Вращательным движением называется такое движение, при котором любые две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными.

Прямая, соединяющая эти точки называется осью вращения все точки этой прямой также остаются неподвижными. Остальные точки тела движутся по окружностям в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а их центры расположены на оси вращения.

Такое движение вполне определяется углом поворота тела  относительно некоторого начального положения:

З а время t угол  изменяется на величину . Отношение  к t называют средней угловой скоростью тела за время t , то есть . Угловая скорость тела:

.

Угловая скорость тела равна первой производной от угла поворота по времени.

Отношение  к t называют средним угловым ускорением . Угловое ускорение:

Угловое ускорение тела равно первой производной от угловой скорости по времени.

Перемещения S и скорости точек можно определить из соотношений:

S = ;

здесь R − радиус вращения.

.

Нормальное (центростремительное) и тангенциальное (вращательное) ускорения определим из соотношений:

, ;

,

Полное ускорение точки:

.

Модули скоростей и ускорений точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.

10.Траектории, скорости и ускорения точек тела при его поступательном и вращательном движении. При поступательном движении любой отрезок прямой (например, отрезок АВ), проведенный в твердом теле, остается параллельным самому себе.

Выберем подвижную систему отсчета Axyz , оси которой связаны с данным телом и передвигаются вместе с ним.

Т. к. при поступательном движении оси координат остаются параллельными своему начальному направлению, координаты любой точки (например т. В) твердого тела в подвижной системе отсчета остаются постоянными, а ее движение тождественно движению т. А.

Следовательно, траектории движения всех точек одинаковы. Одинаковыми по модулю и направлению будут также скорости и ускорения твердого тела при его поступательном движении.

Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной его точки.

Все точки тела движутся по идентичным траекториям, а их скорости и ускорения одинаковы.

Скорости и ускорения при простейших движениях точек тела при его поступательном движении

1. Равномерное прямолинейное движение (v=const) по оси Х

x=x₀+vt, a=0.

2. Равномерное криволинейное движение (v=const)

s=s₀+vt,

где s − дуговая координата; s₀ − дуговая координата в начальный момент времени при t=0.

3. Равноускоренное движение (a=const)

v=v₀+ а_τ t

,здесь v₀ − начальная скорость при t=0.