1. Убывает при ; 2. ; 3. ; 4. Непрерывна.

В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age)  (как правило, лет) и соответственно  при x > .

При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.

Функция выжимания имеет простой статистический смысл. Допустим, что мы наблюдаем за группой из  новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.

Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте  через . Тогда:

.

Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.

Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста  из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной  (зафиксировав начальный размер группы ).

Функция выживания  может быть восстановлена по плотности:

 

Характеристики продолжительности жизни

С практической точки зрения важны следующие характеристики:

1. Среднее время жизни , 2. Дисперсия времени жизни , где ,

Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением (standard deviation). Это более удобная величина, чем дисперсия, так как имеет ту же размерность, что исходные данные.

3. Медиана времени жизни , которая определяется как корень уравнения .

Медиана времени жизни – это возраст, до которого доживает ровно половина представителей исходной группы новорожденных.

Аналитические законы смертности

Для упрощения расчетов, теоретического анализа и т.д. естественно попытаться описать получаемые эмпирическим путем данные о функции выживания или интенсивности смертности с помощью простых аналитических формул.

Простейшее приближение было введено в 1729 году де Муавром (de Moivre), который предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале , где  - предельный возраст.

В модели де Муавра при  0<x<                                     Сравнение графиков этих функций  с реальными графиками функции выживания , функции смертей , интенсивности смертности , показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением.

Например, первая формула означает, что кривая смертей  является горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на пик в районе 80 лет.

В модели, которую предложил в 1825 году Гомпертц (Gompertz), интенсивность смертности  приближается показательной функцией вида , где >0 и B>0 – некоторые параметры. Соответствующая функция выживания  имеет вид

,

а кривая смертей:

.

Мэйкхам (Makeham) в 1860 году обобщил предыдущую модель, приблизив интенсивность смертности  функцией вида .

Постоянное слагаемое позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как член учитывает влияние возраста на смертность.

В этой модели , .

Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает интенсивность смертности  функцией вида . В этой модели , .

Вейбулл (Weibull) в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности  более простой степенной функцией вида . В этой модели ,      .

В практике страхования эти параметры неизвестны и оцениваются по реальным данным.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика, Высшая школа, 1992.

2. Боровиков В.П. Популярное введение в программу STATISTICA, Компьютер Пресс 1998.

3. Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows, Филинъ 1998.

4. Боровиков В.П. STATISTICA, искусство анализа данных на компьютере, Питер 2001.

5. Боровиков В.П, Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows, Финансы и статистика 1999.

6. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика, Наука 1985.

7. Т. Мак. Математика рискового страхования, М.: ЗАО «Олимп-Бизнес", 2005