Часть 1. Контрольная 3. Вариант 28
.docБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет ФНиДО
Специальность ПОИТ
Контрольная работа № 3
по дисциплине «Высшая математика»
часть 1
Вариант № 28
Выполнил студент: Жукович Игорь Сергеевич
группа 291003
Студенческий билет № 2910028
Контрольная работа № 3. Введение в математический анализ
Задача 1(88)
Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить её график
Решение
Выделив полный квадрат в заданной функции, получим
.
Теперь применим метод преобразования координат. Известно, что график функции получают путем переноса графика вверх или вниз вдоль оси OY на в зависимости от знака b, график функции получается параллельным переносом графика при в положительном направлении оси ОХ на с, и в отрицательном направлении этой оси при , а график функции получается растяжением графика вдоль оси ОY в А раз при или сжатием вдоль этой оси в А раз при . Тогда график исходной функции можно построить, переместив вершину параболы в точку и затем растянув параболу в 3 раза вдоль оси OY. Ветви параболы направлены вниз.
Задача 2(98)
Задана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая аргументу значения через промежуток ; 2) найти каноническое уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии.
Решение
Составим таблицу значений:
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1 |
≈1,01 |
≈1,11 |
≈1,23 |
1,5 |
≈1,85 |
|
2,32 |
2,79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2,79 |
2,32 |
2 |
1,85 |
1,5 |
1,23 |
≈1,11 |
≈1,03 |
1 |
Для вычерчивания линии проведем радиусы-векторы, соответствующие углам , взятым с интервалом . На каждом из этих радиусов-векторов откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении из таблицы . Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии:
2. Подставляя и в уравнение заданной линии, получим
Полученное уравнение есть уравнение эллипса с полуосями с центром в точке .
Задача 3(108)
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
1) ; 2) ; 3) .
Решение
1) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на . Получим
,
так как при функции и – бесконечно малые функции
2) Пределы числителя и знаменателя при равны нулю, т.е. имеем неопределенность . Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на :
.
3) Подстановка приводит к неопределенности . Сделаем замену переменной , принимая во внимание, что . Тогда
.
Здесь использован второй замечательный предел .
Задача 4(118)
Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
1) ; 2) .
Решение
1)
2) Введём замену переменной , тогда при .
Преобразуем выражение:
Здесь мы воспользовались соотношениями и эквивалентными функциями , .
Задача 5(128)
Задана функция различными аналитическими выражениями для различных интервалов изменения аргумента. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить их тип. Сделать чертёж
Решение
Очевидно, что являются точками, подозрительными на разрыв. В остальных точках функция непрерывна.
Вычислим односторонние пределы в подозрительных точках:
; ;
; .
Поскольку то функция в точке является непрерывной.
В точке функция имеет разрыв 1‑го рода, так как .
В точках функция имеет разрыв 2‑го рода, так как .
Построим график с учетом проведенного исследования.