Часть 1. Контрольная работа №1. Вариант 4

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра высшей математики

Факультет ФНиДО

Специальность ПОИТ

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

часть 1

Вариант № 4

Выполнил студент: XXX

группа XXX

Студенческий билет № XXX

 

Минск 2012

_{Вариант 4}

Задача 4.

Даны четыре вектора a̅ (a₁; a₂; a₃), b̅(b₁; b₂; b₃), c̅(c₁; c₂; c₃) и d̅(d₁; d₂; d₃),

заданные в прямоугольной декартовой системе координат. Требуется:

1) вычислить скалярное произведение b̅·(2 a̅ - c̅);

2) вычислить векторное произведение c̅ × (a̅ - 3b̅);

3) показать, что векторы a̅, b̅, c̅ образуют базис и найти координаты вектора d̅ в этом базисе,

если a̅ = (3; -2; 0); b̅ = (-2; 3; 4); c̅ = (1; 1; -3); d̅ = (11; -9; -11).

Решение:

1. b̅ • (2 a̅ - c̅)

2a̅ = 2 • (3;-2;0) = (6;-4;0)

2a̅ – c̅ = (6;-4;0) – (1;1;-3) = (5;-5;3)

b̅ • (2a̅ - c̅) = (-2;3;4) • (5;-5;3) = -10 + (-15) +12 = -13

2. c̅ × (a̅ - 3b̅)

3b̅ =3 • (-2;3;4) = (-6;9;12)

a̅ – 3b̅ = (3;-2;0) – (-6;9;12) = (9;-11;-12)

c̅ × (a̅ - 3b̅) = =

= (1 • (-12) – (-3) • (-11)) i – (1 • (-12) – (-3) • 9) j + (1 • (-11) – 9 • 1) k =

= -45i – 15j -20k

c̅ × (a̅ - 3b̅) = (-45; -15; -20)

3. Докажем, что векторы a̅, b̅, c̅ некомпланарны и образуют базис пространства R³:

(a̅, b̅, c̅) = =

= 3 • 3 • (-3) + (-2) • 4 • 1 + (-2) • 1• 0 – 1 • 3 • 0 + (-2) • (-2) • (-3) + 1 • 4 • 3 = -35 ≠ 0

Значит, векторы a̅, b̅, c̅ некомпланарны и образуют базис, в котором вектор d̅ может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

d̅ = αa̅ + βb̅ + γc̅

Запишем это равенство в координатном виде:

где α, β, γ  - неизвестные координаты вектора d̅ в базисе a̅, b̅, c̅.

Решим систему по формулам Крамера:

Δ = = -5

Δα = = 20

Δβ = = 40

Δγ = = -35

α = = = -4

β = = = -8

γ = = = 7

Значит, d̅ = -4α -8β + 7γ

Задача 14.

Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

1) длину ребра ;

2) уравнение прямой ;

3) угол между рёбрами и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между ребром и гранью ;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

7) площадь грани ;

8) объём пирамиды;

9) сделать чертёж,

если: .

Решение:

1. 

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки:

где (x₀, y₀, z₀) – координаты точки , а (x₁, y₁, z₁) – координаты точки . Тогда

уравнение прямой примет вид:

В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей:

<=>

3. Угол ϕ между векторами и вычисляется по формуле:

где в числителе скалярное произведение векторов и , а в знаменателе -произведение их длин.

Находим:

;

;

|| =

|| =

, ) = () = 9

4. Уравнение для плоскости , проходящей через три точки:

,

где - координаты точки ,

- координаты точки ,

- координаты точки

<=>

5. Угол между гранью и ребром определяем из уравнения угла между прямой и плоскостью:

где n̅ - нормальный вектор плоскости , a̅ - направляющий вектор прямой

Из пункта 3 имеем a̅ , из пункта 4 имеем n̅ = (0;0;21)

Таким образом,

Отсюда ϕ = arcsin(4)

6. Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой

где – координаты точки, лежащей на прямой. Пусть это будет точка (точка вершины пирамиды). m, n, p – координаты нормального вектора плоскости , его значение берем из уравнения плоскости (пункт 4): n̅ = (0;0;21)

Таким образом,

7. ,

8. ,

9. 

Задача 24.

Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости

.

Решение:

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярную плоскости P:

В качестве направляющего вектора прямой возьмем нормальный вектор плоскости Р:

n̅ = (4;-5;-1)

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим эти уравнения в уравнение плоскости Р и найдем t:

Значит,

Координаты точки найдем из формул:

Значит, точка имеет координаты (15;-20;-4)

Задача 34.

Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A(1;0), чем к точке B(-2;0). Привести полученное уравнение к каноническому виду и указать тип линии, описываемой этим уравнением.

Решение:

Обозначим произвольную точку искомой линии как M(x;y), принадлежащую линии.

Согласно условию, расстояние от точки М до точки B(-2;0) в два раза больше, чем до точки А(1;0):

Преобразуем уравнение:

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке (2;0) и радиусом 2.